Die fünfdimensionale Kaluza-Klein-Metrik ist in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung des vierdimensionalen metrischen Tensors. Dieser enthält zusätzlich ein Skalarfeld, genannt Graviskalar (oder Radion), sowie ein Vektorfeld, genannt Graviphoton (oder Gravivektor), welche hypothetischen Teilchen entsprechen. Die Kaluza-Klein-Metrik führt weiter auf die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole, Kaluza-Klein-Riemann- und -Ricci-Krümmungstensoren sowie die Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen.
Benannt ist die Kaluza-Klein-Metrik nach Theodor Kaluza und Oskar Klein.
Definition Die Kaluza-Klein-Metrik ist gegeben durch:Weinberg 72, Gleichungen (2.1) bis (2.3)Witten 81, Gleichung (3)Duff 1994, Gleichung (2)Overduin & Wesson 1997, Gleichung (5)Hossenfelder 03, Gleichung (4.2)Choquet-Bruhat 08; Kapitel XIV, Gleichungen (2.1)-(2.3) sowie (7.1)-(7.3); Appendix VII, Gleichung (3.4)Pope, Gleichung (1.8)
Ihre inverse Matrix ist gegeben durch:Hossenfelder 03, Gleichung (4.21)
Mit der Definition eines erweiterten Gravivektors kürzt sich die Definition zu:
weshalb das Graviskalar nicht verschwinden kann, da dadurch die Metrik singulär würde.
Eigenschaften
Eine Kontraktion zeigt direkt den Übergang von vier auf fünf Dimensionen:
Ist das vierdimensionale und das fünfdimensionale Wegelement,Duff 1994, Gleichung (1) dann besteht die zum Lorentz-Faktor aus der Speziellen Relativitätstheorie ähnliche Relation:Hossenfelder 03, Gleichung (4.3)Pope, Gleichung (1.7)
Die Determinanten und hängen zusammen über:Pope, Gleichung (1.14)
Obwohl der obige Ausdruck von der Struktur her zum Matrix-Determinante-Lemma passt, ist dieses hier nicht anwendbar, da der vordere Summand singulär ist.
Analog zum metrischen Tensor, doch zusätzlich mit dem obigen Zusammenhang , gilt:
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie Kategorie:Elektrodynamik Kategorie:Stringtheorie