Der fünfdimensionale Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor (oder Kaluza-Klein-Riemann-Christoffel-Krümmungstensor) ist in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung des vierdimensionalen Riemann-Krümmungstensors (oder Riemann-Christoffel-Krümmungstensors). Dessen Kontraktion mit sich selbst ist der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor, eine Verallgemeinerung des Ricci-Tensors. Dessen Kontraktion mit der Kaluza-Klein-Metrik ist das Kaluza-Klein-Ricci-Skalar, eine Verallgemeinerung des Ricci-Skalars. Beide sind notwendig für die Formulierung der Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen.
Benannt sind der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor, Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar nach Theodor Kaluza, Oskar Klein, Bernhard Riemann und Gregorio Ricci-Curbastro.
Definition Sei die Kaluza-Klein-Metrik, welche ein Graviphoton (oder Gravivektor) sowie ein Graviskalar (oder Radion) enthält, und die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole. Der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor ist gegeben durch:Choquet-Bruhat 08; Appendix VII, Gleichung (4.1)
Der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar sind gegeben durch:Overduin & Wesson 1997, Gleichung (4)Choquet-Bruhat 08; Appendix VII, Gleichung (5.1)
Beide Formeln können mit dem gewöhnlichen Ricci-Tensor und Ricci-Skalar verbunden werden.Choquet-Bruhat 08, Kapitel XIV, Gleichungen (3.2)-(3.4) sowie Kapitel XVI, Gleichungen (3.1)-(3.3)
Eigenschaften
Der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor ist gegeben durch:Choquet-Bruhat 08, Gleichungen (2.16) bis (2.18)
Mit der inversen Kaluza-Klein-MetrikHossenfelder 03, Gleichung (4.21) ist das Kaluza-Klein-Ricci-Skalar gegeben durch:
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie Kategorie:Elektrodynamik Kategorie:Stringtheorie