mini|Zentralprojektion einer Eisenbahnstrecke – die parallel verlaufenden Schienen scheinen sich im Fluchtpunkt am Horizont zu schneiden.
Der projektive Raum ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie. Dieser Raum kann aufgefasst werden als die Menge aller Geraden durch den Ursprung eines Vektorraums . Ist der reelle zweidimensionale Vektorraum , so nennt man ihn reelle projektive Gerade, und im Falle heißt er reelle projektive Ebene. Analog definiert man projektive Geraden und projektive Ebenen über beliebigen Körpern als die Mengen der Ursprungsgeraden in einem zwei- bzw. dreidimensionalen Vektorraum über dem jeweiligen Körper. Projektive Ebenen können in der Inzidenzgeometrie auch axiomatisch charakterisiert werden, dabei erhält man auch projektive Ebenen, die nicht den Geraden in einem Vektorraum entsprechen.Beutelspacher (1982)
Die Idee der projektiven Räume steht in Beziehung zur Zentralprojektion aus der darstellenden Geometrie und Kartenentwurfslehre bzw. zur Art und Weise, wie das Auge oder eine Kamera eine dreidimensionale Szene auf ein zweidimensionales Abbild projiziert. Alle Punkte, die gemeinsam mit der Linse der Kamera auf einer Linie liegen, werden auf einen gemeinsamen Punkt projiziert. In diesem Beispiel ist der zugrunde liegende Vektorraum , die Kameralinse ist der Ursprung und der projektive Raum entspricht den Bildpunkten.
Definition Der reelle projektive Raum ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im . Formal definiert man ihn als Menge von Äquivalenzklassen wie folgt.
Auf sei die Äquivalenzrelation
definiert. In Worten heißt dies, dass genau dann äquivalent zu ist, wenn es ein gibt, so dass gilt. Alle Punkte auf einer Ursprungsgeraden – der Ursprung ist nicht enthalten – werden also miteinander identifiziert und nicht mehr unterschieden.
Der -dimensionale reelle projektive Raum ist der Quotientenraum
ausgestattet mit der Quotiententopologie . Dadurch wird er zu einem topologischen Raum .
Im Fall spricht man von der projektiven Geraden (auch: projektive Linie) und im Fall von einer projektiven Ebene.
Wählt man statt den komplexen Vektorraum , so erhält man mit der analogen Definition mit den komplex projektiven Raum der (komplexen) Dimension als den Raum der komplex eindimensionalen Unterräume des .
Die Koordinaten der Punkte des projektiven Raums, welche ja Äquivalenzklassen von Punkten sind, werden durch notiert und heißen homogene Koordinaten. (Entsprechend für den komplexen projektiven Raum.) Für definiert die Abbildung eine Bijektion zwischen und .
Allgemeiner können auch projektive Räume über beliebigen anderen Körpern (an Stelle von bzw. ) konstruiert werden.
Ein allgemeinerer Begriff des projektiven Raumes wird in der synthetischen Geometrie verwendet, vor allem für den Fall die projektive Ebene. Die Axiomatik dieses allgemeineren Begriffes wird im Hauptartikel Projektive Geometrie dargestellt.
Projektive lineare Gruppe (Kollineationen)
Die projektive lineare Gruppe ist die Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen, sie ist definiert als Quotient von unter der Äquivalenzrelation . Die Wirkung von auf gibt eine wohl-definierte Wirkung von auf . Die den Elementen entsprechenden Abbildungen sind projektive, das heißt hier doppelverhältnistreue Kollineationen. Mit anderen Worten: Sie bilden die Menge der projektiven Punkte bijektiv auf sich selbst ab. Sie bilden jede Gerade als Punktmenge auf eine Gerade ab (erhalten damit die Inzidenzstruktur). Das Doppelverhältnis von beliebigen 4 Punkten, die auf einer Geraden liegen, bleibt unverändert. Das unterscheidet Projektivitäten von bijektiven echt semilinearen Selbstabbildungen des Vektorraums.
Analog definiert man eine Wirkung von auf .
Im Fall der projektiven Gerade wirkt auf durch gebrochen-lineare Transformationen. Nach der Identifikation von mit (bzw. mit ) wirkt bzw. durch .
Beispiel: Riemannsche Zahlenkugel miniatur|Stereographische Rückprojektionen der komplexen Zahlen und auf die Punkte und der Riemann’schen Zahlenkugel
Die komplex-projektive Gerade ist nach obiger Definition gerade die Menge der komplexen Geraden in , welche durch den Ursprung gehen.
Die komplex-projektive Gerade kann man auch als die reell-zweidimensionale Sphäre beziehungsweise riemannsche Zahlenkugel
auffassen. Die Übereinstimmung mit obigen Begriffen ergibt sich wie folgt: Bezeichne mit den „Nordpol“. Betrachte die stereographische Projektion , welche durch
gegeben ist. Anschaulich legt man durch und den Nordpol eine (reelle) Gerade und wählt den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Äquatorebene als Bildpunkt der Abbildung, wobei der Nordpol mit identifiziert wird. Die Korrespondenz zwischen und in homogenen Koordinaten ist dann .
Eigenschaften Die reellen und komplexen projektiven Räume sind kompakte Mannigfaltigkeiten. Der projektive Raum ist ein Beispiel für eine nicht affine algebraische Varietät bzw. ein nicht affines Schema. Außerdem hat der projektive Raum die Struktur einer torischen Varietät. Im algebraisch-geometrischen Kontext kann man anstelle der reellen oder komplexen Zahlen jeden beliebigen Körper einsetzen. Untervarietäten des projektiven Raums werden als projektive Varietäten (veraltet auch als projektive Mannigfaltigkeiten) bezeichnet. Lokal nach dem projektiven Raum modellierte lokal-homogene Mannigfaltigkeiten werden als projektive Mannigfaltigkeiten bezeichnet.
Topologie Die projektive Gerade ist homöomorph zum Kreis . Für ist die Fundamentalgruppe des projektiven Raums die Gruppe Z/2Z, die 2-fache Überlagerung des ist die Sphäre .
Für ungerade ist der orientierbar, für gerade ist er nicht orientierbar.
Die projektive Ebene ist eine nicht-orientierbare Fläche, die sich nicht in den einbetten lässt. Es gibt aber Immersionen des in den , zum Beispiel die sogenannte Boysche Fläche.
Die komplex-projektive Gerade ist homöomorph zur Sphäre , die quaternionisch-projektive Gerade ist homöomorph zur , die Cayley-projektive Gerade homöomorph zur .
Alle komplex- oder quaternionisch-projektiven Räume sind einfach zusammenhängend.
Die Hopf-Faserungen bilden (für ) jeweils die Einheitssphäre in auf ab, die Faser ist die Einheitssphäre in . Man erhält auf diese Weise Faserungen . Diese Faserungen haben Hopf-Invariante 1.
Projektive Teilräume und abgeleitete Räume In diesem Abschnitt wird im Sinne der obigen allgemeineren Definition von einem -dimensionalen projektiven Raum über einem beliebigen Körper ausgegangen, die Punkte des Raumes können also als eindimensionale Untervektorräume von angesehen werden. Jedem -dimensionalen Unterraum von ist ein -dimensionaler projektiver Teilraum von zugeordnet. Man nennt auch eine (verallgemeinerte, projektive) Ebene, für Hyperebene, für Gerade in . Auch die leere Menge wird hier als projektiver Teilraum betrachtet, dem der Nullraum von und als Dimension zugeordnet wird. Die Schnittmenge von zwei projektiven Teilräumen ist wiederum ein projektiver Teilraum. Bildet man zu den Unterräumen, die zwei projektiven Räumen und zugeordnet sind, die lineare Hülle ihrer Vereinigungsmenge in , so gehört zu diesem Untervektorraum wieder ein projektiver Teilraum, der Verbindungsraum (auch als Summe notiert) von und . Für Schnitt und Verbindung von projektiven Teilräumen gilt die projektive Dimensionsformel: . Die Menge aller Teilräume des projektiven Raumes bildet bezüglich der Verknüpfungen „Schnitt“ und „Verbindung“ einen längenendlichen, modularen, komplementären Verband. Jedem projektiven Punkt kann über seine Koordinaten eine homogene Koordinatengleichung zugeordnet werden, deren Lösungsmenge eine Hyperebene beschreibt. Durch die so definierten Hyperebenenkoordinaten bilden die Hyperebenen in wiederum Punkte eines projektiven Raumes, des Dualraums .(→ siehe dazu Projektives Koordinatensystem#Koordinatengleichungen und Hyperebenenkoordinaten). Allgemeiner bildet die Menge der Hyperebenen, die einen festen -dimensionalen Teilraum enthalten, einen projektiven Raum, den man als Bündel, im Spezialfall als Büschel von Hyperebenen bezeichnet. heißt Träger des Bündels oder Büschels.
Axiomatischer Zugang
Als man in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts die Geometrie in streng axiomatische Form fasste und dann auch daranging, die Axiome systematisch zu variieren, lag es nahe, das Parallelenaxiom durch die Festlegung zu ersetzen, dass sich zwei in einer Ebene liegende Geraden immer schneiden müssen. Dies ist allerdings unverträglich mit dem Anordnungsaxiom II.3.
Beschränkt man sich aber auf die Inzidenzaxiome, so ergeben sich sehr einfache und hochsymmetrische Axiomensysteme, die auch die Gesetze des bekannten projektiven Raums umfassen.
Ein solches Axiomsystem, das nur mit den Grundbegriffen „Punkt“, „Gerade“ und „Inzidenz“ auskommt, lautet:
(Geradenaxiom) Sind und zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade , die mit und inzidiert. (Axiom von Veblen-Young) Sind , , , vier Punkte, so dass und mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch und mit einem gemeinsamen Punkt. (1. Reichhaltigkeitsaxiom) Jede Gerade inzidiert mit mindestens drei Punkten. (2. Reichhaltigkeitsaxiom) Es gibt mindestens zwei verschiedene Geraden.
Eine Inzidenzstruktur, die diese Axiome erfüllt, heißt dann eine projektive Geometrie.
Das 1. Axiom ist eine Kurzfassung der Inzidenzaxiome I.1 und I.2.
Das 2. Axiom ersetzt das Parallelenaxiom. Wenn man im Rahmen der übrigen Axiome den Begriff „Ebene“ geeignet definiert, besagt es gerade, dass zwei Geraden einer Ebene sich immer schneiden. Ersetzt man es durch das einfachere (und strengere) Axiom
2E. Sind und zwei verschiedene Geraden, so gibt es genau einen Punkt, der mit und inzidiert,
so heißt die entsprechende Struktur eine projektive Ebene.
Die Reichhaltigkeitsaxiome 3. und 4. ersetzen das Hilbert-Axiom I.8. Strukturen, die nur die Axiome 1. bis 3., aber nicht 4. erfüllen, heißen ausgeartete projektive Geometrien. (Es sind ausnahmslos projektive Ebenen.)
mini|Die Fano-Ebene erfüllt das Fano-Axiom nicht! Da sowohl das Anordnungsaxiom III.4 als auch das Vollständigkeitsaxiom V.2 fehlen, sind endliche Modelle für projektive Geometrien möglich.
Das einfachste nicht-entartete Beispiel ist die Fano-Ebene, die aus sieben Punkten und sieben Geraden besteht; im nebenstehenden Bild sind die „Punkte“ die dick markierten Punkte, die „Geraden“ sind die Strecken sowie der Kreis.
Eine Punktmenge eines projektiven Raumes , die mit zwei verschiedenen Punkten stets auch alle Punkte auf deren (nach Axiom 1. eindeutigen) Verbindungsgeraden enthält, heißt Linearmenge. Linearmengen spielen die Rolle der projektiven Unterräume in der projektiven Geometrie, man schreibt daher auch , wenn eine Linearmenge ist. Der einfachste (wenn auch nicht kleinste) Typ einer Linearmenge ist eine Punktreihe, also die Punktmenge auf einer Geraden. Eine beliebige Punktmenge des Raumes erzeugt eine wohlbestimmte minimale Linearmenge die Schnittmenge aller Linearmengen, in denen als Teilmenge enthalten ist. Ist und für jeden Punkt , dann heißt ein minimales Erzeugendensystem oder auch eine Punktbasis von . Die Anzahl der Elemente einer solchen Punktbasis von ist unabhängig von der Wahl der Punktbasis. Die Zahl heißt die projektive Dimension von , sie kann , eine natürliche Zahl oder allgemeiner eine unendliche Kardinalzahl sein, im letzten Fall nennt man die Linearmenge oft nur unendlichdimensional. Beispiele Die leere Menge ist nach der genannten Definition selbst eine Linearmenge: Sie enthält die Punkte aller erforderlichen Verbindungsgeraden, nämlich keine. Ihre Dimension ist . Ebenso ist jede einpunktige Menge eine Linearmenge, also ist ihre Dimension jeweils . Jede Punktreihe ist eine eindimensionale Linearmenge, denn sie wird von zwei beliebigen, verschiedenen Punkten der Trägergeraden erzeugt.