Die -Yang-Mills-Gleichungen (kurz -YM-Gleichungen) sind in der Yang-Mills-Theorie eine Verallgemeinerung der Yang-Mills-Gleichungen. Ihre Lösungen werden -Yang-Mills-Zusammenhänge (oder -YM-Zusammenhänge) genannt. Einfache und wichtige Spezialfälle von -Yang-Mills-Zusammenhängen sind exponentielle Yang-Mills-Zusammenhänge mit der Exponentialfunktion als sowie -Yang-Mills-Zusammenhänge mit als Exponent einer Potenz der Norm der Krümmung ähnlich zur -Norm. Ebenfalls oft betrachtet werden Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge (kurz YMBI-Zusammenhänge) mit negativem oder positiven Vorzeichen in einer Funktion mit der Quadratwurzel. Dies macht die Yang-Mills-Born-Infeld-Gleichung ähnlich zur Minimalflächengleichung.
F-Yang-Mills-Wirkung Sei eine streng monoton steigende -Funktion (also mit ) mit . Sei:
Da eine -Funktion ist, kann ebenfalls die folgende Konstante betrachtet werden:
Sei eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra und ein -Hauptfaserbündel, wobei eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik und Volumenform ist. Sei das adjungierte Vektorbündel. ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator mit der Metrik und der Volumenform auf der Basismannigfaltigkeit definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.
Die -Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:
Für einen flachen Zusammenhang (mit ) ist . Daher wird gefordert, um eine Divergenz für eine nicht kompakte Mannigfaltigkeit zu verhindern, obwohl die Bedingung auch weggelassen werden kann, da lediglich von weiterem Interesse ist.
F-Yang-Mills-Zusammenhänge und -Gleichung Ein Zusammenhang wird -Yang-Mills-Zusammenhang genannt, wenn dieser ein kritischer Punkt der -Yang-Mills-Wirkung ist, also:
für jede glatte Familie mit gilt. Das gilt genau dann, wenn die -Yang-Mills-Gleichungen erfüllt sind:
Für einen -Yang-Mills-Zusammenhang wird dessen Krümmung als -Yang-Mills-Feld bezeichnet.
Ein -Yang-Mills-Zusammenhang mit:
ist einfach ein gewöhnlicher Yang-Mills-Zusammenhang. In diesem Fall ist . wird exponentieller Yang-Mills-Zusammenhang genannt. In diesem Fall ist . Die exponentielle und normierte exponentielle Yang-Mills-Wirkung werden jeweils mit und bezeichnet. wird -Yang-Mills-Zusammenhang genannt. In diesem Fall ist . Gewöhnliche Yang-Mills-Zusammenhänge sind genau die -Yang-Mills-Zusammenhänge. Die -Yang-Mills-Wirkung wird mit bezeichnet. bzw. wird Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhang (oder YMBI-Zusammenhang) mit negativem bzw. positiven Vorzeichen genannt. In diesem Fall ist bzw. . Die Yang-Mills-Born-Infeld-Wirkungen mit negativem und positivem Vorzeichen werden jeweils mit und bezeichnet. Die Yang-Mills-Born-Infeld-Gleichungen mit positivem Vorzeichen sind verwandt mit der Minimalflächengleichung:
Stabile F-Yang-Mills-Zusammenhänge Analog zu (schwach) stabilen Yang-Mills-Zusammenhängen lassen sich (schwach) stabile -Yang-Mills-Zusammenhänge definieren. Ein -Yang-Mills-Zusammenhang wird stabil genannt, wenn:
für jede glatte Familie mit gilt. wird schwach stabil genannt, wenn nur gilt. Ein -Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Für ein (schwach) stabilen oder instabilen -Yang-Mills-Zusammenhang wird dessen Krümmung zudem als (schwach) stabiles oder instabiles -Yang-Mills-Feld bezeichnet.
Eigenschaften Für einen Yang-Mills-Zusammenhang mit konstanter Krümmung impliziert die Stabilität als Yang-Mills-Zusammenhang die Stabilität als exponentiellen Yang-Mills-Zusammenhang. Alle nichtflachen exponentiellen Yang-Mills-Zusammenhänge über mit und:
sind instabil.
Alle nichtflachen Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge mit negativem Vorzeichen über mit und:
sind instabil.
Alle nichtflachen -Yang-Mills-Zusammenhänge über mit sind instabil. Dieses Resultat beinhaltet die folgenden Spezialfälle: Alle nichtflachen Yang-Mills-Zusammenhänge über mit sind instabil.Chiang 2013, Theorem 3.1.9 James Simons präsentierte dieses Resultat ohne schriftliche Publikation in Tokio im September 1977 während eines Symposiums zu „Minimal Submanifolds and Geodesics“. Alle nichtflachen -Yang-Mills-Zusammenhänge über mit sind instabil. Alle nichtflachen Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge mit positivem Vorzeichen über mit sind instabil. Für sind alle nichtflachen -Yang-Mills-Zusammenhänge über der Cayley-Ebene instabil.
Literatur
Siehe auch
Bi-Yang-Mills-Gleichungen, Modifikation der Yang-Mills-Gleichungen
Weblinks
F-Yang-Mills equation auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Quantenfeldtheorie