Die Bi-Yang-Mills-Gleichungen (kurz Bi-YM-Gleichungen) sind in der Yang-Mills-Theorie eine Modifikation der Yang-Mills-Gleichungen. Ihre Lösungen werden Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge (oder Bi-YM-Zusammenhänge) genannt. Vereinfacht ausgedrückt stehen Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge zu Yang-Mills-Zusammenhängen wie diese zu flachen Zusammenhängen. Dies kommt daher, dass Yang-Mills-Zusammenhänge nicht unbedingt flach sind, aber zumindest lokal einen Extremwert der Krümmung annehmen, während Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge nicht unbedingt Yang-Mills-Zusammenhänge sind, aber zumindest lokal einen Extremwert der linken Seite der Yang-Mills-Gleichungen annehmen. Während Yang-Mills-Zusammenhänge als nichtlineare Verallgemeinerungen von harmonischen Funktionen gesehen werden können, können Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge als nichtlineare Verallgemeinerungen von biharmonischen Funktionen gesehen werden.
Bi-Yang-Mills-Wirkung Sei eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra und ein -Hauptfaserbündel, wobei eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik und Volumenform ist. Sei das adjungierte Vektorbündel. ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator mit der Metrik und der Volumenform auf der Basismannigfaltigkeit definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.
Die Bi-Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:Chiang 2013, Gleichung (9)
Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge und -Gleichung Ein Zusammenhang wird Bi-Yang-Mills-Zusammenhang genannt, wenn dieser ein kritischer Punkt der Bi-Yang-Mills-Wirkung ist, also:Chiang 2013, Gleichungen (5.1) und (6.1)
für jede glatte Familie mit gilt. Das gilt genau dann, wenn die Bi-Yang-Mills-Gleichungen erfüllt sind:Chiang 2013, Gleichungen (10), (5.2) und (6.3)
Für einen Bi-Yang-Mills-Zusammenhang wird dessen Krümmung als Bi-Yang-Mills-Feld bezeichnet.
Stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge Analog zu (schwach) stabilen Yang-Mills-Zusammenhängen lassen sich (schwach) stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge definieren. Ein Bi-Yang-Mills-Zusammenhang wird stabil genannt, wenn:
für jede glatte Familie mit gilt. wird schwach stabil genannt, wenn nur gilt.Chiang 2013, Definition 6.3.2 Ein Bi-Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Für ein (schwach) stabilen oder instabilen Bi-Yang-Mills-Zusammenhang wird dessen Krümmung zudem als (schwach) stabiles oder instabiles Bi-Yang-Mills-Feld bezeichnet.
Eigenschaften
Yang-Mills-Zusammenhänge sind schwach stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge.Chiang 13, Proposition 6.3.3.
Siehe auch
F-Yang-Mills-Gleichungen, Verallgemeinerung der Yang-Mills-Gleichungen
Literatur
Weblinks
Bi-Yang-Mills equation auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Quantenfeldtheorie