In der Mathematik ist die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion ein wichtiger nichtlinearer Operator, der in der reellen Analysis und der harmonischen Analyse verwendet wird. Sie ist ein zentrales Beispiel einer Maximalfunktion. Außerdem stellt sie eine der zentralen Anwendungen des Interpolationssatzes von Marcinkiewicz dar.
Definition Sei , dann definiert man die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion durch
, wobei das -dimensionale Volumen der Kugel um mit Radius bezeichnet.
Eigenschaften Die Menge ist offen, was sich aus der Absolutstetigkeit des Integrals ergibt. ist sublinear, das heißt . Ist eine wesentlich beschränkte Funktion, so gilt , das heißt . Die Funktion ist messbar ( ist punktweise das Supremum von stetigen Funktionen), das heißt . Falls , dann ist unterhalbstetig.Kinnuen J.:Real Anlaysis (Lecture Notes), Seite 39
Schwache L1-Abschätzung der Maximalfunktion Für und gilt:
mit einer nur von abhängigen Konstanten .
Es ist zu beachten, dass und somit eine Besicovitch-Konstante ist.
Lp-Abschätzung der Maximalfunktion Für und gilt
Literatur Elias M. Stein and Rami Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press 2005, ISBN 0-691-11386-6 Elias M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press 1971 Kinnunen J. The hardy-littlewood maximal function of a sobolev function. Isr. J. Math. 100, Seite 117–124, 1997
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis Kategorie:Harmonische Analyse