Die Donaldson-Invariante ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine aus den Methoden des Satzes von Donaldson entwickelte Invariante der glatten Struktur von vierdimensionalen glatten Mannigfaltigkeiten (kurz 4-Mannigfaltigkeiten). Insbesondere ergeben sich die Schlüsselinformationen aus dem Yang-Mills-Modulraum der Yang-Mills-Gleichungen auf der 4-Mannigfaltigkeit, welche als partielle Differentialgleichungen von der glatten Struktur abhängen. Donaldson-Invarianten können diese unterscheiden, also exotische glatte Strukturen erkennen, was explizit bedeutet, dass homöomorphe glatte 4-Mannigfaltigkeiten, also aus topologischer Sicht identische, trotzdem verschiedene Donaldson-Invarianten haben können. Donaldson-Invarianten sind nach Simon Donaldson benannt, der den Satz von Donaldson im Jahr 1983 (mit Verbesserung im Jahr 1987) beschrieb und daraus resultierenden Invarianten im Jahr 1986. Im Jahr 1986 wurde ihm zudem die Fields-Medaille für seine Beiträge verliehen.
Geschichte
mini|Simon Donaldson erhielt für die Entwicklung der Donaldson-Theorie die Fields-Medaille im Jahr 1986 mini|Edward Witten erhielt für die Entwicklung der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT) die Fields-Medaille im Jahr 1990
Simon Donaldson bewies im Jahr 1983 (mit späterer Verbesserung im Jahr 1987) den Satz von Donaldson mit der unerwarteten Strategie den (anti)selbstdualen Yang-Mills-Modulraum ((A)SDYM-Modulraum) von SU(2)-Hauptfaserbündeln zu verwenden, also mit der speziellen unitären Gruppe als Strukturgruppe. Ronald Fintushel und Ronald Stern adaptierten seine Arbeit für SO(3)-Hauptfaserbündel, also mit der speziellen orthogonalen Gruppe als Strukturgruppe. Beide Gruppen sind durch eine doppelte Überlagerung verbunden, genau die adjungierte Darstellung, anders ausgedrückt ist die dritte Spin-Gruppe und die zweite projektive unitäre Gruppe . Simon Donaldson erweiterte seine Arbeit im Jahr 1986 zu Invarianten über die glatte Struktur von glatten Mannigfaltigkeiten, welche für beide Strukturgruppen und funktionieren. Edward Witten erschloss im Jahr 1988 das Gebiet der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT) und zeigte, dass sich die Donaldson-Invarianten als Erwartungswerte einer topologisch getwisteten vierdimensionalen N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie (TT D = 4 N = 2 SYM) ausdrücken lassen.
Peter Kronheimer und Tomasz Mrowka erreichten im Frühling 1994 eine starke Vereinfachung der Donaldson-Invarianten mit der Einführung der Kronheimer-Mrowka-Basisklassen, welche deren unendlichen Summen auf endliche Summen reduziert. Nathan Seiberg und Edward Witten erreichten im Herbst 1994 eine weitere Verbesserung durch die Konstruktion der dualen TT D =4 N = 2 SYM.Scorpan 05, S. 356Naber 2011, S. 362–363 Sowohl diese Eichtheorie als auch ihre Anwendung auf vierdimensionale Geometrie werden dabei oft als Seiberg-Witten-Theorie bezeichnet, sind aber strenggenommen zwei verschiedene Theorien. Seiberg-Witten-Invarianten brachten zahlreiche Vorteile gegenüber Donaldson-Invarianten, etwa die wesentlich einfachere und zudem abelsche unitäre Gruppe als Strukturgruppe oder den stets kompakten Seiberg-Witten-Modulraum, wodurch umständliche Kompaktifizierungen mithilfe des Kompaktheitssatzes von Uhlenbeck wie für die Donaldson-Invarianten nicht mehr notwendig sind. Nichtsdestotrotz konnte in den folgenden Jahren gezeigt werden, dass die Seiberg-Witten-Invarianten trotzdem mehr Informationen als die Donaldson-Invarianten erhalten, sodass letztere nicht mehr so aktiv benutzt werden. Insbesondere beschrieb Clifford Taubes eine Verbindung zu den Gromov-Witten-Invarianten und Edward Witten leitete aus rein physikalischen Überlegungen die Witten-Vermutung ab, dass sich die Kronheimer-Mrowka-Basisklassen und damit die Donaldson-Invarianten komplett aus der Seiberg-Witten-Theorie ergeben.Naber 2011, S. 398–400
Inzwischen werden auch topologisch getwistete vierdimensionale N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorien (TT D = 4 N = 4 SYM) betrachtet, dazu gehören die Donaldson-Witten-Theorie, Vafa-Witten-Theorie und Kapustin-Witten-Theorie sowie andere Varianten wie die dreidimensionale Rozansky-Witten-Theorie. Aus diesen entstehen weiterführende Invarianten wie die Vafa-Witten-Invarianten und Rozansky-Witten-Invarianten, wobei sich die aktuelle Forschung damit beschäftigt, wie diese die originale Idee der Donaldson-Invarianten weiter ausbauen und verbessern.
SU(2) Donaldson-Invarianten Sei eine orientierte geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeit und ein SU(2)-Hauptfaserbündel, dann existiert eine eindeutige Homotopieklasse repräsentiert durch eine klassifizierende Abbildung in den klassifizierenden Raum von SU(2) mit einem Rückzug . Mit der Kronecker-Paarung und der Fundamentalklasse aus der Orientierung gibt die zweite Chern-Klasse konkret einen Gruppenisomorphismus:
.
Sei der Konfigurationsraum der Zusammenhänge auf , welcher ein affiner Vektorraum nicht kanonisch isomorph zu ist. Sei die Eichgruppe der Eichtransformationen von , welche auf wirkt. Sei der Orbitraum,Donaldson 86, Gl. (2.1)Naber 2011, S. 352–355 dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz in die Homotopieklasse der klassifizierenden Abbildung von .Donaldson 86, Lem. (2.4)Donaldson & Kronheimer 97, Prop. 5.1.4 Durch Currying entspricht diese einer Abbildung und durch Rückzug einem -Hauptfaserbündel .Donaldson & Kronheimer 97, Gl. (5.1.5) Für jede Eichklasse gilt dabei . Mit der zweiten Chern-Klasse ergibt sich mit dem Slant-Produkt eine Abbildung:Donaldson 86, Def. 2.5Freed & Uhlenbeck 91, S. xi-xiiDonaldson & Kronheimer 97, S. 176–177
mini|VisualisierungFreed & Uhlenbeck 1984, S. 45–46Donaldson & Kronheimer 1990, S. 326 des fünfdimensionalen selbstdualen Yang-Mills-Modulraums aus dem Beweis des Satzes von Donaldson Mit der Teilmenge des (anti)selbstdualen Yang-Mills-Modulraumes gibt es eine induzierte Abbildung , welche durch Postkomposition zu einer Abbildung führt. Mit der Interpretation der Homologieklassen als eingebettete Flächen mit und der Interpretation der Kohomologieklassen als Differentialformen zweiter Ordnung über die de Rham-Kohomologie kann die Abbildung daher als eine Zuordnung gesehen werden, die eingebetteten Flächen in auf Differentialform zweiter Ordnung auf abbildet. Donaldson-Invarianten sind über die Integration dieser Differentialformen definiert, jedoch stehen dem die stets fehlende Kompaktheit und die Singularitäten des Modulraumes im Weg. Eine Kompaktifizierung kann mit dem Kompaktheitssatz von Uhlenbeck konstruiert werden und führt zu einer -linearen Abbildung .Naber 2011, S. 352–355
Sei das eindeutige -Hauptfaserbündel mit nach dem obigen Gruppenisomorphismus, dann ist für die erste Pontrjagin-Klasse des adjungierten Vektorbündels und die virtuelle Dimension des antiselbstdualen Yang-Mills-Modulraums ist mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz gegeben durch:Salamon 99, S. 262–265Scorpan 05, S. 355Naber 2011, S. 352–355
Wenn ungerade ist, dann ist die virtuelle Dimension eine gerade Zahl , potentiell negativ mit entsprechender Wahl von . Mit der Fundamentalklasse von der Orientierbarkeit des ASDYM-Modulraumes ist die Donaldson-Invariante mit dem Cup-Produkt und der Kronecker-Paarung gegeben durch:
Dabei drückt die Symmetriesierung der zweiten Homologie durch Betrachtung bis auf Permutation genau die Symmetrie des Cup-Produktes aus, also die Irrelevanz der Reihenfolge. Es kann zudem gezeigt werden, dass die Donaldson-Invarianten ebenfalls nicht von der Riemannschen Metrik abhängen und daher lediglich von der glatten Struktur.
Wechsel der Instantonzahl Nach der obigen Formel gilt unter Wechsel der Instantonzahl, was die Eingabe der Donaldson-Invariante um vier neue zweite Homologieklassen erweitert. Allgemeiner führt das Slant-Produkt auf eine Abbildung ,Salamon 99, S. 262–265Scorpan 05, S. 355 also für zusammenhängend mit eine -lineare Abbildung . Also ist eine Erweiterung der Donaldson-Invariante ebenfalls um zwei Bilder eines Generators möglich.
SO(3) Donaldson-Invarianten Sei ein SO(3)-Hauptfaserbündel, dann existiert eine eindeutige Homotopieklasse repräsentiert durch eine klassifizierende Abbildung in den klassifizierenden Raum von SO(3) mit einem Rückzug . Nun geben die zweite Stiefel-Whitney-Klasse und die erste Pontrjagin-Klasse einen Gruppenisomorphismus:
In diesem Fall ersetzt die erste Pontrjagin-Klasse die zweite Chern-Klasse im Slant-Produkt.
Donaldson-Invarianten von Kompaktifizierungen
Kompaktifizierung auf zwei Dimensionen
Nach dem Klassifikation von Flächen ist jede orientierte 2-Mannigfaltigkeit (Fläche) homöomorph zu einer Sigma-Fläche , gegeben als verbundene Summe von 2-Tori mit der Konvention . Nun können die Donaldson-Invarianten auf der 4-Mannigfaltigkeit betrachtet werden.
Kompaktifizierung auf drei Dimensionen
For eine orientierte geschlossene 3-Mannigfaltigkeit können die Donaldson-Invarianten auf der 4-Mannigfaltigkeit betrachtet werden. Für allgemeine Strukturgruppen stehen diese in Relation mit den Rozansky-Witten-Invarianten von und für die Strukturgruppe stehen diese in Relation mit der Casson-Walker-Lescop-Invariante von .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialtopologie