Der Satz von Donaldson (auch Donaldson-Theorem) ist ein wichtiges Resultat aus den mathematischen Teilgebieten der Differentialtopologie nach der die Schnittform einer kompakten orientierten glatten 4-Mannigfaltigkeit diagonalisierbar sein muss, wenn sie definit ist. In der ursprünglichen Version des Satzes aus dem Jahr 1983 musste die Mannigfaltigkeit noch einfach zusammenhängend sein, bei einer späteren Verbesserung aus dem Jahr 1987 war diese Bedingung nicht mehr notwendig. Zentrale Folgen des Satzes von Donaldson sind die Existenz von exotischen glatten Strukturen auf dem sowie der Fehlschlag des h-Kobordismus-Satzes in vier Dimensionen. Der Satz von Donaldson begründete die Donaldson-Theorie zum Studium von 4-Mannigfaltigkeiten durch die auf den Modulräume der antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) basierenden Donaldson-Invarianten und wird als einer der Gründe für den Verleih der Fields-Medaille an Simon Donaldson im Jahr 1986 angeführt.

Beweisskizze mini|VisualisierungFreed & Uhlenbeck 1984, S. 45–46Donaldson & Kronheimer 1990, S. 326 des kompaktifizierten Yang-Mills-Modulraumes als Kobordismus zwischen der Basismannigfaltigkeit (durch dessen Struktur in der Unendlichkeit) sowie disjunkten Vereinigungen der komplexen projektiven Ebene (durch dessen Struktur um Singularitäten).Es seien jeweils:

eine kompakte orientierbare glatte 4-Mannigfaltigkeit ein SU(2)-Hauptfaserbündel ein Zusammenhang dessen Krümmungsform

Mit dem Hodge-Stern-Operator sind die antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) gegeben durch .Uhlenbeck & Freed 1984, Gleichung (7) (Das funktioniert nur, weil eine 4-Mannigfaltigkeit ist, da und andernfalls von verschiedenen Graden sind.) Ihre Lösungen werden antiselbstduale Yang-Mills-Zusammenhänge genannt und bilden gemeinsam den Raum . Gemäß der Definition eines Zusammenhangs wirkt die Eichgruppe auf diesenDonaldson 83, S. 282. und aufgrund der Kompatibilität mit der Definition der Krümmungsform ebenfalls wohldefiniert auf , wobei der Orbitraum als notiert wird. Ein wichtiger Unterraum ist der Yang-Mills-Modulraum, welcher als notiert wird. Mithilfe des Atiyah–Singer-Indexsatzes ergibt sich dessen Dimension als:Donaldson 83, S. 290.Donaldson 87, Gleichung 2.1Freed & Uhlenbeck 1991, zwischen Gleichung (2.28) und (2.29) auf S. 42Donaldson & Kronheimer 1990, Gleichung (4.2.21)

Dabei sind jeweils:

die zweite Chern-Klasse des Hauptfaserbündels. die durch die Orientierung der Basismannigfaltigkeit gegebene Fundamentalklasse. die Kronecker-Paarung die erste Betti-Zahl der Basismannigfaltigkeit . die Dimension des positiv definiten Untervektorraumes von bezüglich der Schnittform.

Ist einfach zusammenhängend wie in der ursprünglichen Version, dann folgt durch den Zusammenhang direkt , wodurch sich die Formel vereinfacht. Betrachtet wird ein Hauptfaserbündel mit , sodass . Sei das durch das balancierte Produkt zugeordnete komplexe Ebenenbündel. Reduzible Zusammenhänge bis auf Wirkung der Eichgruppe bilden zum einen die Singularitäten von und korrespondieren zum anderen eineindeutig mit Aufteilungen in eine Whitney-Summe mit einem komplexen Linienbündel .Donaldson 83, S. 287. In diesem Fall ist die zweite Chern-Klasse mit dem Cup-Produkt gegeben durch:Donaldson & Kronheimer 1990, Gl. (4.2.13)

Durch die Kronecker-Paarung mit der Fundamentalklasse ergibt sich die Verbindung zur Schnittform durch:

Die Anzahl der Paare mit ist also ebenso die Anzahl der Singularitäten von .Donaldson 87, Gleichung 2.2 Es gilt (da in letzteres noch positiv die Anzahl der Paare mit eingeht) und Gleichheit gilt genau dann, wenn diagonalisierbar ist.Donaldson 83, Lemma 2 Der nicht kompakte Modulraum gleicht in der Unendlichkeit der Basismannigfaltigkeit (in dem Sinne, dass es eine Untermannigfaltigkeit mit einem orientierungserhaltenden Diffeomorphismus gibtDonaldson 83, Theorem 11) sowie in Umgebungen der Singularitäten der komplexen projektiven Ebene . Mithilfe von Chirurgietheorie und Einklebung dieser Räume ergibt sich also eine Kompaktifizierung, die einen Kobordismus zwischen und disjunkten enthält. Da die Signatur kobordismusinvariant ist und mit disjunkten Vereinigungen kommutiert folgt:Donaldson 83, S. 281.

Anwendung auf die 4-Sphäre Die 4-Sphäre ist eine kompakte orientierbare glatte 4-Mannigfaltigkeit. Da ihre Schnittform wegen trivial ist, gibt dieses Beispiel zwar keine Einsicht in den Satz von Donaldson selbst, wohl aber die im Beweis benutzten Konzepte und ihre Zusammenhänge. Das -Hauptfaserbündel über mit Chernklasse ist die quaternionische Hopf-Faserung . Diese lässt sich abstrakt definieren als die Hopf-Konstruktion der topologischen Gruppenstruktur auf oder direkt durch Wirkung der Einheitsquaternionen auf beiden Komponenten von sowie die Projektion auf den Orbitraum, nämlich den quaternionischen projektiven Raum . Das adjungierte Vektorbündel ist genau das quaternionische tautologische Linienbündel (aber aufgefasst als komplexes Ebenenbündel) ebenfalls definiert über die Identifikation , in welcher Punkte von jeweils eindimensionalen quaternionischen Untervektorräumen von entsprechen. Es gelten und , also und . Gemäß obiger Formel gilt , was bei den beschriebenen Instantonen genau den vier Freiheitsgraden für den Ort und dem einen Freiheitsgrad für die Größe entspricht.

Siehe auch Kronheimer-Mrowka-Basisklasse

Weblinks Donaldson's theorem auf nLab (englisch)

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Differentialtopologie