Ein hemikompakter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Verallgemeinerung des kompakten Raumes.
Definition Ein topologischer Raum , für den eine abzählbare Familie von kompakten Teilmengen mit
für alle
existiert, wird hemikompakt genannt.Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, 2004, S. 126
Eigenschaften
Kompakte Räume sind hemikompakt. Für die abzählbare Familie an kompakten Teilmengen reicht dabei der Raum selbst. Abgeschlossene Unterräume von hemikompakten Räumen sind hemikompakt. Für die abzählbare Familie des abgeschlossenen Unterraumes kann der Schnitt von diesem mit der abzählbaren Familie des gesamten Raumes verwendet werden. Dabei muss verwendet werden, dass der Schnitt einer kompakten mit einer abgeschlossenen Teilmenge wieder kompakt ist. Hemikompakte Räume sind σ-kompakt. Erstabzählbare hemikompakte Räume sind lokalkompakt. Lokal- und σ-kompakte Räume sind hemikompakt (ebenfalls parakompakt). Für einen Tychonoff-Raum gilt:Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, 2004, S. 289 Ist (mit der Kompakt-Offen-Topologie) erstabzählbar, dann ist hemikompakt. ist genau dann hemikompakt, wenn metrisierbar ist.J. B. Conway: A Course in Functional Analysis (= Graduate Texts in Mathematics. Band 96). Springer Verlag, 1990, IV. Example 2.2.
Beispiele
ist hemikompakt mit der abzählbaren Familie der abgeschlossenen Kugeln mit jeweiligem Radius an kompakten Teilmengen. Jede andere kompakte Teilmenge ist in einer davon enthalten, da sie insbesondere beschränkt ist. und der Arens-Fort-Raum sind hemikompakt, aber nicht lokalkompakt.K. D. Joshi: Introduction to General Topology. New Age International, 1983, Chapter 4, Section 2, Example 10
Literatur
Weblinks
hemicompact space auf nLab (englisch) hemicompact auf π-Base (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Topologischer Raum Kategorie:Kompaktheit