mini|Das Geographische Koordinaten­system ist ein orthogonales. In der Mathematik sind orthogonale Koordinaten solche, in denen sich in jedem Punkt die zu verschiedenen Koordinaten gehörenden Koordinatenlinien paarweise im rechten Winkel schneiden.

Das Bild zeigt ein auf der Erde weit verbreitetes, krummliniges, aber orthogonales Koordinatensystem, denn die Längen- und Breitenkreise schneiden sich überall rechtwinklig. Auf den dargestellten Längenkreisen variiert nur der Breitengrad bei konstantem Längengrad, und auf den Breitenkreisen ist es gerade umgekehrt. Orthogonale Koordinaten­systeme haben für die angewandten Wissenschaften eine überragende Bedeutung, da viele konkrete Probleme in solchen Systemen formuliert und mit Trennung der Veränderlichen gelöst werden können.

Motivation

Während sich Vektoroperationen und physikalische Gesetze normalerweise am einfachsten in kartesischen Koordinaten ableiten lassen, werden auch nicht-kartesische orthogonale Koordinaten zur Lösung von Problemen verwendet, wenn sie sich für deren mathematische Beschreibung eignen. Beispielsweise werden die eingangs aufgeführten geographischen Koordinaten für die Navigation auf der Erdoberfläche benutzt.

Der Hauptvorteil nichtkartesischer Koordinaten besteht darin, dass sie – wie im genannten Beispiel – so gewählt werden können, dass sie an die Geometrie eines betrachteten Problems angepasst sind. Bei einer weit vom Boden (oder anderen Hindernissen) stattfindenden Explosion hängt die Druckwelle in kartesischen Koordinaten von allen drei Raumdimensionen ab, der Druck bewegt sich jedoch überwiegend vom Zentrum weg, sodass das Problem in Kugelkoordinaten nahezu eindimensional wird (da die Druckwelle überwiegend nur von der Zeit und dem Abstand vom Zentrum abhängt).

Der Grund dafür, orthogonale Koordinaten gegenüber allgemein krummliniger Koordinaten zu bevorzugen, liegt in der Einfachheit: Es treten Komplikationen auf, wenn Koordinaten nicht orthogonal sind. Beispielsweise können in orthogonalen Koordinaten Probleme oft durch die Trennung der Veränderlichen gelöst werden. Die Trennung von Veränderlichen ist eine mathematische Technik, die ein komplexes mehrdimensionales Problem in entsprechend viele eindimensionale Probleme umwandelt, die anhand bekannter Funktionen gelöst werden können. Viele Gleichungen lassen sich auf die Laplace-Gleichung oder die Helmholtz-Gleichung zurückführen, die sich immer in orthogonalen Koordinatensystemen auftrennen lassen, deren Koordinatenflächen konfokale Quadriken oder deren degenerierten Formen sind, siehe die Liste orthogonaler Koordinatensysteme.

Weitere mathematische Vorteile orthogonaler Koordinaten sind: Das Skalarprodukt nimmt eine besonders einfache Gestalt an, was darauf beruht, dass der metrische Tensor Diagonalgestalt besitzt. In der Physik werden Vektorfelder bezüglich der normierten Basisvektoren dargestellt, sodass sich die von krummlinigen Koordinaten induzierte Ko- und Kontravarianz aufhebt. Hier gestaltet sich das Kreuzprodukt und die Rotation eines Vektorfeldes besonders einfach. Die Ableitungen der Basisvektoren können mit nur 12 Christoffelsymbolen, statt den sonst üblichen 18, berechnet werden. Diese Symbole hängen zudem nur von drei Größen, den metrischen Faktoren und ihren Ableitungen, ab.

Erzeugung orthogonaler Koordinaten mini|Tragflügel und Kreis hängen durch eine konforme Abbildung zusammen. In zwei Dimensionen, wie im Bild, können orthogonale Koordinatensysteme erzeugt werden, indem das Koordinatengitter in der xy-Ebene konform abgebildet wird. Mit den - und -Koordinaten lässt sich eine komplexe Zahl bilden, wobei die Imaginäre Einheit darstellt. Jede holomorphe Funktion einer komplexen Veränderlichen mit komplexer Ableitungsfunktion erzeugt eine konforme Abbildung.

Orthogonale Koordinaten in drei und höheren Dimensionen können aus einem orthogonalen zweidimensionalen Koordinatensystem erzeugt werden, indem es entweder in eine neue Dimension extrudiert (Zylinderkoordinaten) oder das zweidimensionale System um eine seiner Symmetrieachsen gedreht wird. Allgemeinere orthogonale Koordinaten können konstruiert werden, indem man mit einigen notwendigen Koordinatenflächen beginnt und die mit ihren Normalenvektoren gebildeten Integralkurven berücksichtigt.

In der Literatur findet sich eine Fülle von Definitionen für orthogonale Koordinaten, die bei der Lösung von Problemen der Feldtheorie helfen sollen, siehe auch die Liste orthogonaler Koordinatensysteme.

Basisvektoren

mini|Koordinatenflächen (bunt), Koordinatenlinien (dunkler) und Tangentenvektoren (schwarz) zu krummlinigen orthogonalen Koordinaten u1,2,3

In kartesischen Koordinaten sind die Vektoren der Standardbasis räumlich konstant, aber in krummlinigen Koordinaten ist dies zumeist nicht der Fall. An jeden Punkt im Raum ist eine Menge von Basisvektoren gebunden, die man sich in drei Dimensionen wie ein begleitendes Dreibein vorstellen kann, das in orthogonalen Koordinaten aus zueinander senkrechten Achsen besteht, schwarz im Bild.

Basisvektoren und metrische Faktoren Die kovariante Basis sind die Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien im Punkt. Differentialgeometrisch berechnen sich die kovarianten Basisvektoren als Ableitungsfunktion des Ortes nach der (einen) Koordinate :

mit Standardbasisvektoren êj. Die kovarianten Vektoren haben beliebigen Betrag, sind aber in orthogonalen Systemen paarweise senkrecht zueinander. Die unnormierten Vektoren bilden die natürliche Basis, aus der durch Normierung die normierte Basis entsteht (Einheitsvektoren ĉ mit Hut), die in Abgrenzung zur Standardbasis mit einem c bezeichnet werden:

mit {| |   || metrischer Faktor |- | || normierter Basisvektor

Die Ableitungen der kovarianten Vektoren weisen die folgende Symmetrie auf:

was sich auf die unteren Indizes der #Christoffelsymbole überträgt.

Die kontravarianten Basisvektoren entstehen im Allgemeinen gemäß aus dem Gradient der Koordinaten, sind im Fall orthogonaler Koordinaten jedoch leicht zu finden, weil sie kollinear zu den kovarianten Vektoren sind, aber eine reziproke Länge haben:

Dies folgt aus der Tatsache, dass die ko- und kontra­varianten Basisvektoren zueinander reziproke Basis­systeme bilden, mit und dem Kronecker-Delta δ. Zusammengefasst heißt das:

Metrikkoeffizienten und Händigkeit

Die metrischen Faktoren sind per definitionem positiv und hängen mit den Metrik­koeffizienten wie folgt zusammen:

Das ist bedeutsam für die #Christoffelsymbole. Für j≠k verschwinden die Metrikkoeffizienten und für j＝k ergibt sich

Werden die kovarianten Basisvektoren mittels der Standardbasis­vektoren êi und des dyadischen Produkts „⊗“ Spaltenweise in eine Matrix eingetragen, entsteht eine Jacobi-Matrix

g ＝

Das System ist rechtshändig, wenn die Determinante dieser Matrix

g :＝ |g|

positiv ist, was im allgemeinen nur in bestimmten Wertebereichen der Koordinaten der Fall ist, so wie im #Beispiel Kugelkoordinaten unten. Der Betrag der Determinante ist jedenfalls gleich dem Produkt der metrischen Faktoren:

|g| ＝ h1 h2 h3… ＝: ∏k hk

In drei Dimensionen ist die Determinante gleich dem Spatprodukt der Basisvektoren:

ausgeschrieben

Wenn diese Summe positiv ist, ist das System rechtshändig.

Koeffizienten von Vektoren

Es gibt demnach drei verschiedenen Basissätze, die sich zur Darstellung von Vektoren in orthogonalen Koordinaten anbieten: die kovariante Basis , die kontravariante Basis und die normierte Basis , die alle kollinear sind aber verschiedene Längen haben können. Während ein Vektor eine objektive Größe ist, was bedeutet, dass seine Identität unabhängig von einem Koordinatensystem ist, hängen die Koeffizienten eines Vektors davon ab, in welcher Basis der Vektor dargestellt wird. Die Stellung des Index reflektiert das verwendete Basissystem:

wo obere Indizes nicht mit Potenzierung verwechselt werden dürfen. Die Position der Indizes gibt an, wie die Koeffizienten berechnet werden:

Es gibt keine eindeutige, weit verbreitete Notation für Koeffizienten in Bezug auf die normierte Basis; hier soll der Buchstabe f benutzt werden:

Vektoralgebra

Vektoraddition und -subtraktion erfolgen komponentenweise, genau wie in kartesischen Koordinaten. Wenn die Rechtshändigkeit des Basissystems eine Rolle spielt, ist zu bedenken, dass diese von der Nummerierung der Koordinaten abhängt und, bei gegebener Nummerierung, in krummlinigen Koordinaten meist nur in bestimmten Wertebereichen der Koordinaten garantiert ist, siehe #Beispiel Kugelkoordinaten.

Jedenfalls ist zu beachten, dass alle Operationen nur für die einem Punkt zugeordneten Vektoren gelten, genauer nur für die Vektoren im Tangentialraum im Punkt definiert sind. Da Basisvektoren in krummlinigen Koordinaten im Allgemeinen von Ort zu Ort variieren, müssen die unterschiedlichen Basisvektoren berücksichtigt werden, wenn zwei Vektoren addiert werden, die an verschiedenen Punkten im Raum vorliegen. Das ist insbesondere bei Differentiationen in Richtung der Koordinatenlinien zu bedenken, siehe Zusammenhang (Differentialgeometrie).

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum mit kartesischen Koordinaten ist die Summe der Produkte der Koeffizienten der beteiligten Vektoren. In orthogonalen Koordinaten nimmt das Skalarprodukt zweier Vektoren und diese bekannte Form an, wenn – wie üblich – die #normierte Basis zur Darstellung der Vektoren benutzt wird:

wo δ das Kronecker-Symbol darstellt.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt in kartesischen 3D-Koordinaten mit Standardbasis ê1,2,3 lautet:

Die obige Formel hat analoge Gestalt in orthogonalen Koordinaten, wenn sie ein Rechtssystem bilden, was hier vorausgesetzt wird, und – wie üblich – die #normierte Basis zur Darstellung der Vektoren benutzt wird. Mit dem Permutationssymbol ϵ gilt wie in kartesischen Koordinaten:

insbesondere:

Damit schreibt sich das Kreuzprodukt zweier Vektoren als:

Ableitungen der Basisvektoren

In diesem Abschnitt wird zwecks kompakter Darstellung die Partielle Ableitung nach einer Koordinate mit einem Index hinter einem Komma angezeigt:

Ferner sei auf die folgenden, häufig benutzten Besonderheiten beim Umgang mit Summen und dem Kronecker-Symbol δij hingewiesen:

Christoffelsymbole

Mit den Christoffelsymbolen werden in jedem Raumpunkt die Änderungen der Grundvektoren beim Fortschreiten in Richtung der Koordinatenlinien ausgedrückt:

Sie weisen, wie bereits im Abschnitt #Basisvektoren und metrische Faktoren angekündigt, eine Symmetrie in den unteren Indizes auf

Die Christoffelsymbole können mit den Metrikkoeffizienten ausgedrückt werden:

Beweis Die Metrikkoeffizienten gij haben die Eigenschaft und so berechnet sich:

Das gilt allgemein für Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten. In den orthogonalen Koordinaten hier vereinfacht sich das wegen , siehe oben zu:

womit die Christoffelsymbole auf die metrischen Faktoren und ihre Ableitungen zurück geführt sind.

Beweis Aus dem Zusammenhang zwischen den Christoffelsymbolen und den Metrikkoeffizienten leitet sich

ab, was der Formel oben entspricht.

Es gibt vier Fälle zu unterscheiden (Mengenangaben beziehen sich auf drei Dimensionen):

i≠j≠k≠i entsprechend δij＝δik＝δjk＝0 Sechs Symbole i≠j und entweder k=i oder k=j entsprechend δij＝0 und entweder δik＝1 oder δjk＝1 Zwölf Symbole i＝j≠k entsprechend δij＝1 und δik＝δjk＝0 Sechs Symbole i＝j＝k entsprechend δij＝δik＝δjk＝1 Drei Symbole . Dieser Fall kann mit dem zweiten zusammen gelegt werden.

Erste Ableitungen

Die ersten Ableitungen der natürlichen Basisvektoren berechnen sich direkt mit den #Christoffelsymbolen:

Gleichzeitig ist auch

speziell:

Die normierten Basisvektoren erfüllen die Orthogonalitätsbedingungen

Insbesondere sind sämtliche Ableitungen eines Basisvektors senkrecht zu diesem: .

Zweite Ableitungen Ableitung von nach uk ergibt

Beweis Mit den ersten Ableitungen der Basisvektoren schreibt sich:

Hier wurde

benutzt.

Das spezialisiert sich bei i,k＝j zu:

,