Der klassifizierende Raum der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe ist der Basisraum des universellen -Hauptfaserbündels . Das bedeutet, dass -Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben. Eine spezielle Anwendung sind SO(2)-Hauptfaserbündel.

Definition Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch . Deren direkter Limes ist:Milnor & Stasheff 74, Sektion 12.2 The Oriented Universal Bundle auf Seite 151

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

überträgt sich die -Wirkung auf .

Kleinster klassifizierender Raum

Es ist die triviale Gruppe und daher der triviale topologische Raum.

Es ist und daher der unendliche komplexe projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln Für einen topologischen Raum sei die Menge der -Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

bijektiv.

Kohomologiering Der Kohomologiering von mit Koeffizienten in wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:Milnor & Stasheff, Theorem 12.4.Lawson & Michelson 90, Theorem B.8Hatcher 02, Example 4D.6.

Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik .

Der Kohomologiering von mit Koeffizienten im Körper der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:Lawson & Michelson 90, Theorem B.14

Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik .

Unendlicher klassifizierender Raum Die kanonische Inklusionen induzieren kanonische Inklusionen auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

bezeichnet. ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von .

Siehe auch

Klassifizierender Raum von O(n) Klassifizierender Raum von U(n) Klassifizierender Raum von SU(n)

Literatur

Weblinks

classifying space auf nLab (englisch) BSO(n) auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

Kategorie:Algebraische Topologie