Der klassifizierende Raum der speziellen unitären Lie-Gruppe ist der Basisraum des universellen -Hauptfaserbündels . Das bedeutet, dass -Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in stehen. Die Bijektion ist das zurückgezogene Hauptfaserbündel. Eine spezielle Anwendung sind SU(2)-Hauptfaserbündel.
Definition Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch . Deren direkter Limes ist:
Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:
überträgt sich die -Wirkung auf .
Kleinster klassifizierender Raum
Es ist die triviale Gruppe und daher der triviale topologische Raum.
Es ist und daher der unendliche quaternionische projektive Raum.
Klassifikation von Hauptfaserbündeln Für einen topologischen Raum sei die Menge der -Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:
bijektiv.
Kohomologiering Der Kohomologiering von mit Koeffizienten im Ring der ganzen Zahlen wird von den Chern-Klassen erzeugt:Hatcher 02, Example 4D.7.
Unendlicher klassifizierender Raum Die kanonische Inklusionen induzieren kanonische Inklusionen auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:
bezeichnet. ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von .
Siehe auch
Klassifizierender Raum von O(n) Klassifizierender Raum von SO(n) Klassifizierender Raum von U(n)
Literatur
Weblinks
classifying space auf nLab (englisch) BSU(n) auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Topologie