In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra selbstadjungiert, wenn sein Adjungiertes dasselbe Element ist.
Definition
Sei eine *-Algebra, so heißt ein Element selbstadjungiert, falls
Die Menge der selbstadjungierten Elemente wird mit bezeichnet.
Eine Teilmenge , die unter der Involution * abgeschlossen ist, also erfüllt, heißt selbstadjungiert.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft () erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.
Vor allem in der älteren Literatur zu *-Algebren bzw. C*-Algebren werden solche Elemente häufig auch hermitesch genannt. Auch in der neueren Literatur finden sich teilweise in Anlehnung daran die Schreibweisen , oder für die Menge der selbstadjungierten Elemente.
Beispiele
Jedes positive Element einer C*-Algebra ist selbstadjungiert. Für jedes Element einer *-Algebra sind die Elemente und selbstadjungiert, da * ein involutiver Antiautomorphismus ist. Für jedes Element einer *-Algebra sind Real- und Imaginärteil und selbstadjungiert, wobei die imaginäre Einheit bezeichnet. Sei ein normales Element einer C*-Algebra , dann definiert jede reellwertige Funktion , die auf dem Spektrum von stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein selbstadjungiertes Element
Kriterien
Sei eine *-Algebra. Dann gilt:
Sei , dann ist selbstadjungiert, da Analog rechnet man nach, dass auch selbstadjungiert ist. Ist das Produkt zweier selbstadjungierter Elemente . Dann ist genau dann selbstadjungiert, wenn und kommutieren, da stets gilt. Ist eine C*-Algebra, so ist ein normales Element genau dann selbstadjungiert, wenn sein Spektrum reell ist, also
Eigenschaften In *-Algebren
Sei eine *-Algebra. Dann gilt:
Jedes Element kann eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegt werden, das heißt es existieren eindeutig bestimmte Elemente , sodass gilt. Dabei ist und Die Menge der selbstadjungierten Elemente ist ein reeller Untervektorraum von Aus der vorherigen Eigenschaft ergibt sich, dass die direkte Summe zweier reeller Untervektorräume ist, also Sei selbstadjungiert, dann ist normal. Die *-Algebra heißt hermitesche *-Algebra, wenn jedes selbstadjungierte Element ein reelles Spektrum hat.
In C*-Algebren
Sei eine C*-Algebra und Dann gilt:
Für das Spektrum gilt oder , da reell ist und für den Spektralradius gilt, weil normal ist. Es existieren nach dem stetigen Funktionalkalkül eindeutig bestimmte positive Elemente , sodass mit Es gilt Man bezeichnet und auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt für den für ein beliebiges Element definierten Betrag Es existiert für jedes und ungerades ein eindeutig bestimmtes , das erfüllt, das heißt eine -te Wurzel, wie man mit dem stetigen Funktionalkalkül zeigen
Siehe auch
Selbstadjungierte Matrix Selbstadjungierter Operator
Literatur
Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3. Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis