In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra positiv, wenn es eine Summe von Elementen der Form ist.
Definition
Sei eine *-Algebra, so heißt ein Element positiv, falls endlich viele Elemente existieren, sodass gilt. Man schreibt dafür auch
Die Menge der positiven Elemente wird mit bezeichnet.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft () erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.
Beispiele
Das Einselement einer unitären *-Algebra ist positiv. Für jedes Element sind und per Definition positiv.
Falls eine C*-Algebra ist, gilt:
Sei ein normales Element, dann definiert jede positive Funktion , die auf dem Spektrum von stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein positives Element Jede Projektion, das heißt jedes Element für das gilt, ist positiv. Für das Spektrum eines solchen idempotenten Elements gilt nämlich , wie sich aus dem stetigen Funktionalkalkül ergibt.
Kriterien
Sei eine C*-Algebra und Dann sind äquivalent:
Es gilt und ist ein normales Element. Es existiert ein Element , sodass gilt. Es existiert ein (eindeutiges) selbstadjungiertes Element , sodass gilt. Ist eine unitäre *-Algebra mit Einselement , so sind dazu außerdem die folgenden Aussagen äquivalent: Es gilt für jedes und ist selbstadjungiertes Element. Es gilt für ein und ist selbstadjungiertes Element.
Eigenschaften In *-Algebren
Sei eine *-Algebra. Dann gilt:
Ist ein positives Element, dann ist selbstadjungiert. Die Menge der positiven Elemente ist ein konvexer Kegel im reellen Vektorraum der selbstadjungierten Elemente Das heißt, für alle und gilt Ist ein positives Element, dann ist auch positiv für jedes Element Für die lineare Hülle von gilt und
In C*-Algebren
Sei eine C*-Algebra. Dann gilt:
Nach dem stetigen Funktionalkalkül existiert für jedes und ein eindeutig bestimmtes , das erfüllt, das heißt eine -te Wurzel. Insbesondere existiert für ein positives Element eine Quadratwurzel. Da für ein das Element positiv ist, ermöglicht dies die Definition eines eindeutigen Betrags: Für jede reelle Zahl gibt es ein positives Element für das für alle gilt. Dabei ist die Abbildung stetig. Für invertierbare sind auch negative Werte für möglich. Produkte kommutierender positiver Elemente sind ebenfalls positiv. Gilt also für positive , so gilt Jedes Element lässt sich eindeutig als Linearkombination von vier positiven Elementen darstellen. Hierzu zerlegt man zunächst in den selbstadjungierten Real- und Imaginärteil und diese wiederum in Positiv- und Negativteil mittels stetigem Funktionalkalkül. Es gilt nämlich , da Es gilt , falls sowohl als auch positiv sind. Ist eine C*-Unteralgebra von , so gilt Ist eine weitere C*-Algebra und ein *-Homomorphismus von nach , dann gilt Seien positive Elemente für die gilt, so kommutieren diese und es gilt Man nennt diese dann auch orthogonal und schreibt
Partielle Ordnung
Sei eine *-Algebra. Die Eigenschaft, positives Element zu sein, definiert eine translationsinvariante partielle Ordnung auf der Menge der selbstadjungierten Elemente Wenn gilt für , schreibt man oder
Diese partielle Ordnung erfüllt die Eigenschaften und für alle mit und
Ist eine C*-Algebra, so besitzt die partielle Ordnung darüber hinaus für die folgenden Eigenschaften:
Gilt , so ist für jedes Für ein , das mit und kommutiert, gilt sogar Gilt , so ist Gilt , so ist für alle reellen Zahlen Ist invertierbar und gilt , so ist invertierbar und für die Inversen gilt
Siehe auch
Positive Matrix Positiver Operator
Literatur
Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3. Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis