In der Mathematik ist der fraktionale Laplace-Operator ein Operator, der die Vorstellung der räumlichen Ableitungen des Laplace-Operators auf fraktionale Potenzen verallgemeinert. Dieser Operator wird oft verwendet, um bestimmte Arten von partiellen Differentialgleichungen zu verallgemeinern. Zwei Beispiele sind und , bei denen bekannte partielle Differentialgleichungen, die den Laplace-Operator enthalten, durch die fraktionale Version ersetzt werden.
In der Literatur variiert die Definition des fraktionalen Laplace-Operators oft, aber meistens sind diese Definitionen äquivalent. Im Folgenden findet sich eine kurze Übersicht, die von M. Kwaśnicki bewiesen wurde.
Definition Sei , und .
Fourier-Definition Wenn wir uns weiter auf , beschränken, erhalten wir
Diese Definition verwendet die Fourier-Transformation für . Diese Definition kann auch durch das Bessel-Potential auf alle erweitert werden.
Integraloperator Der Laplace-Operator kann auch als ein singulärer Integraloperator betrachtet werden, der durch den folgenden Grenzwert in definiert ist.
Generator der stark stetigen Halbgruppe Mithilfe der fraktionalen Wärme-halbgruppe, das die Familie der Operatoren darstellt, können wir den fraktionalen Laplace-Operator durch dessen Generator definieren.
Es ist zu beachten, dass der Generator nicht der fraktionale Laplace-Operator ist, sondern dessen Negativ . Der Operator ist definiert durch
,
wobei die Faltung zweier Funktionen ist und .
Harmonische Erweiterung
wobei
Siehe auch Fraktionale Infinitesimalrechnung
Weblinks Fractional Laplacian. Nonlocal Equations Wiki, Department of Mathematics, The University of Texas at Austin.
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialoperator Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber