322px|mini|Hilfskonstruktion Die nevilleschen Thetafunktionen bilden in der Mathematik eine Gruppe von Funktionen, die mit den jacobischen Thetafunktionen verwandt sind. Sie wurden von dem englischen Mathematiker Eric Harold Neville eingeführt und haben die Bezeichnungen , , und . Die Indizes beziehen sich auf die abgebildete Hilfskonstruktion, nämlich ein achsenparalleles Rechteck in der komplexen Zahlenebene mit den Ecken , , und . Dabei sind und die Seitenlängen des Rechtecks, die bestimmten elliptischen Integralen entsprechen. Der Index gibt an, in welcher Ecke die Funktion eine Nullstelle hat. Beispielsweise hat die Funktion bei eine Nullstelle.
Die nevilleschen Thetafunktionen sind periodisch mit der Periode bzw. . Bezüglich zeigen sie quasi-periodisches Verhalten. Da sie aber nicht doppelt-periodisch sind, erfüllen sie nicht die Definition einer elliptischen Funktion. Bildet man die Quotienten zweier nevillescher Thetafunktionen, so erhält man elliptische Funktionen, nämlich die zwölf jacobischen elliptischen Funktionen.
Definitionen
Voraussetzungen und Bezeichnungen
Zu einem gegebenen Parameterwert (elliptischer Modul, meist reell mit ) sei das zugehörige vollständige elliptische Integral erster Art:
sei das zum komplementären Modul gehörige komplementäre Integral:
Daraus lässt sich das elliptische Nomen berechnen:
Definition über Jacobische Thetafunktionen
Die Nevilleschen Thetafunktionen lassen sich mithilfe der jacobischen Thetafunktionen bis definieren:
Dabei ist und . Das zweite Argument wurde weggelassen.
Weitere Darstellungsformen
Produktdarstellung
Aus den Produktdarstellungen der Jacobischen Thetafunktionen folgen die entsprechenden Formeln für die Nevilleschen Thetafunktionen:
Dabei gilt und .
Darstellung durch Fourierreihen
Die Nevilleschen Thetafunktionen lassen sich folgendermaßen durch Fourierreihen ausdrücken:
mit , und .
Darstellung durch Exponentialreihen
Sehr schnell konvergent sind folgende Summenreihen für die Nevilleschen Thetafunktionen:
{| class="wikitable"
Darstellung durch die Ramanujansche Thetafunktion
Die Nevillesche Thetafunktion kann mithilfe der Ramanujanschen Thetafunktion auf diese Weise dargestellt werden: {| class="wikitable"
Umgekehrt gilt dementsprechend:
Sukzessiv kann darauf zu dieser Nevilleschen Thetafunktion geführt werden:
Eigenschaften
Periodizität
Die Nevilleschen Thetafunktionen und haben in Bezug auf das erste Argument die Periode , die beiden anderen die Periode .
Bei Änderung von um eine halbe Periode ändert sich jeweils das Vorzeichen. Beispielsweise gilt:
Die verwendeten Abkürzungen sind für das elliptische Integral und für das zugehörige komplementäre Integral .
Symmetrieeigenschaften
Bezüglich des ersten Arguments sind , und gerade Funktionen und eine ungerade Funktion.
Beispielwerte
Hinweis: Das Symbol bezeichnet die Lambda-Stern-Funktion.
Lemniskatische Beispielwerte Im Folgenden werden die zugehörigen Werte in Kombination mit dem lemniskatisch elliptischen Modul niedergeschrieben:
Werte für :
Werte für :
Nicht lemniskatische Beispielwerte
Werte für Modul λ*(2) Diese Werte kommen durch Einsatz vom Modul hervor:
Dabei steht für folgende Konstante:
Zugehörige Gleichungen:
Werte für Modul λ*(3) Diejenigen Werte, welche mit dem Modul in Verbindung stehen, werden Äquianharmonische Werte genannt:
Werte für Modul λ*(6) Eingesetzt wird nun der Modulwert und dieser Wert für ist der Schlüssel:
So können direkt diese Neville-Theta-Werte hervorgebracht werden:
Theoreme der Nevilleschen Funktionen
Reflexive Theoreme als Grundlage Während die Jacobischen Amplitudenfunktionen vollständige Additionstheoreme in sich aufweisen, besitzen die Nevilleschen Thetafunktionen nur reflexive Theoreme. Aber diese Theoreme können für die Ermittlung von Identitäten der Nevilleschen Thetafunktionen über reduzierte Webernsche Modulfunktionen verwendet werden. So lauten die exakten Reflexionstheoreme für die Nevilleschen Thetafunktionen und in Abhängigkeit vom elliptischen Modul:
Vervielfachungstheoreme Aus den genannten reflexiven Theoremen und den Verdopplungstheoremen können die Verdreifachungstheoreme durch sukzessive Verkettungen erzeugt werden.
Dies sind einige Verdopplungstheoreme:
Die Thetawerte der doppelten Maßeinträge stehen zu den Thetawerten der einfachen Maßeinträge in einer glatt Quartischen Beziehung.
Auf der Grundlage der nun genannten Verdopplungstheoreme entstehen so die Verdreifachungstheoreme.
Durch den Einsatz von und kommen diese Formeln direkt hervor:
Allgemeine Identitäten
Identitäten für die Drittelung von K
Jacobischer Rechenweg Gegeben sind folgende Tangentielle Rechenoperatoren:
Als tangentielle Differenz kann direkt nach folgendem Schema der Sinus Amplitudinis vom Drittel des vollständigen elliptischen Integrals K ermittelt werden:
Aus diesem Wert können die anderen Werte einfach aufgebaut werden:
Für die Drittelungen und Fünftelungen des vollständigen elliptischen Integrals K werden im nun Folgenden die Identitäten in Relation zu den Jacobischen Amplitudenfunktionen und zu den reduzierten Weberschen Modulfunktionen genannt:
Diese Formeln gelten für die Dreiteilung des vollständigen elliptischen Integrals erster Art K:
Weberscher Rechenweg Das sind die Theoreme für die Reduzierten Weberschen Modulfunktionen von der Stufe drei:
Neben den genannten Theoremen kann auch eine Parametrisierungsformel für die Ermittlung der reduzierten Weberschen Modulfunktionen herangezogen werden:
Mit den reduzierten Weberschen Modulfunktionen gilt:
Mit den Ramanujanschen Funktionen und sowie mit der Elliptischen Lambda-Stern-Funktion gelten diese Beziehungen:
Identitäten für die Fünftelung von K
Reduzierte Webersche Modulfunktionen
Die Reduzierten Weberschen Funktionen und dienen zur schnellen sowie effizienten Ermittlung der Nevilleschen Thetafunktionswerte von den Fünfteln des K-Integrals:
Die Definitionen und Identitäten dieser beiden Funktionen sind in nachfolgender Tabelle zusammengefasst:
{| class="wikitable" |+Definitionen und Identitäten von w und W !Kleine reduzierte Webersche Funktion !Große reduzierte Webersche Funktion |- ! colspan="2"|Pochhammersche Definitionen
! colspan="2"|Ramanujansche Definitionen
! colspan="2"|Jacobische Thetaformeln
! colspan="2"|Bilanzen der Amplitudenfunktionen
Die Funktionen und stellen die Ramanujanschen Funktionen dar.
Mit Gleichungen sechsten Grades ermittelt man die Werte der genannten Reduzierten Weberschen Modulfunktionen in Abhängigkeit vom Modul k simultan oder sukzessiv:
{| class="wikitable"
Dieselben Gleichungen können auch weiter vereinfacht über die Tangensdifferenz mit der Zahl Zwei dargestellt werden:
{| class="wikitable"
Von der Funktion auf die Funktion kann so übergeleitet werden:
Direkt daraus können im Anschluss die Nevilleschen Thetafunktionswerte so ermittelt werden:
Die andere von den beiden reduzierten Weberschen Modulfunktionen liefert diese Resultate auf einfache Weise:
Folgende weitere Beziehungen führen zu den Neville-Theta-Werten aus einem Fünftel und drei Fünfteln vom Integral K:
Jacobische Schlüsselwerte
Die folgenden Tangensdifferenzen gereichen zur Ermittlung der Amplitudenfunktionswerte:
{| class="wikitable"
Eine weitere Fortpflanzung der Amplitudenfunktionswerte erfolgt dadurch:
Durch Zuhilfenahme der Jacobischen Amplitudenfunktionswerte lassen sich die Nevilleschen Werte ebenso ermitteln:
Weitere Identitäten
Ähnliche Identitäten lassen sich für die Siebenteilung und die Elfteilung von aufstellen.
Zusammenhang mit den jacobischen elliptischen Funktionen
Alle jacobischen elliptischen Funktionen (Amplitudenfunktionen) können nach folgendem Schema direkt erzeugt werden:
Hierbei stehen die Buchstaben und stellvertretend für die Buchstaben , , und .
Beispielsweise gelten für den Sinus amplitudinis und seine um das K-Integral horizontal verschobene Funktion folgende Quotienten:
Ableitungen
In den folgenden Formeln bezeichnet die jacobische Zetafunktion. , , , , und sind jacobische elliptische Funktionen. bzw. steht für das vollständige elliptische Integral erster bzw. zweiter Art.
Erste Ableitungen
Für die ersten Ableitungen bezüglich des ersten Arguments gilt:
Zweite Ableitungen
Die zweiten Ableitungen nach können mit ähnlichen Formeln berechnet werden.
Integrale Die bestimmten Integrale von Null bis zum K-Wert ergeben folgende Resultate:
Komplexe 3D-Schemata
Die nun folgenden 3D-Schemata stellen den reellen Anteil und den imaginären Anteil der Nevilleschen Thetafunktionen zueinander gegenüber:
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Implementationen NevilleThetaC[z,m], NevilleThetaD[z,m], NevilleThetaN[z,m], and NevilleThetaS[z,m] sind hierbei die eingebaute Funktionen von Wolfram Mathematica und der rechte Klammerabschnitt enthält das Quadrat der numerischen Exzentrizität beziehungsweise das Quadrat des Moduls bei den Wolfram-Eingabebefehlen.
Anwendungen Die allgemeine Summenreihe aus Potenzen als Summanden mit konstanter Basis bezüglich des Summenindex und Exponenten in quadratischer Relation zum Summenindex lässt sich generell auf folgende Weise berechnen:
Dabei stellt das Kürzel die Hermitesche elliptische Psifunktion dar:
Für den Nevilleschen Ausdruck werden im Folgenden zwei Beispiele angeführt:
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Funktion