mini|Bild einer Kugel mit Längen- und Breitenkreisen
Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche bzw. Kugelkörper.
Differenzierung zwischen Kugelfläche und Kugelkörper Die Kugelfläche, auch Kugeloberfläche oder Sphäre, ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, die den gleichen Abstand von einem festen Punkt des Raumes haben. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl als Radius der Kugel. Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren wird Kugelkörper oder Vollkugel (auch Ball) genannt.
Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.
Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt () und Radius ist die Menge aller Punkte (), für welche die Gleichung
erfüllt ist.
300px|mini|Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem
In Vektorschreibweise mit , :
, , oder .
Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:
mit und .
Kugelschnitte Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie Großkreis, andernfalls Kleinkreis. Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre). Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt. Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor. Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone. Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist. Eine Kugelschale bzw. Hohlkugel entsteht aus zwei unterschiedlich großen konzentrischen Kugeln, indem aus dem größeren Kugelkörper der kleinere herausgeschnitten wird.
Kurven auf einer Kugel hochkant=1.2|mini|Ebener Schnitt einer Kugel mini|hochkant=0.8|Schnitt Kugel – Zylinder: 2 Kreise
Kreise Der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist ein Kreis, ein Punkt oder leer. Ist der Schnitt ein Kreis, so lässt er sich in Parameterform darstellen: s. Ebene Schnitt eines Ellipsoids.
Allerdings kann eine Kugel auch kompliziertere Flächen in einem Kreis schneiden: Ein nicht leerer Schnitt einer Kugel mit einer Rotationsfläche, deren Achse durch den Mittelpunkt der Kugel geht, besteht aus Kreisen und/oder Punkten. Im Bild schneidet eine Kugel einen Zylinder in zwei Kreisen. Wäre der Radius des Zylinders gleich dem Kugelradius, bestünde der Schnitt aus einem Berührkreis. Ein Rotations-Ellipsoid mit demselben Mittelpunkt wie die Kugel und dem Kugelradius als großer Halbachse würde die Kugel in zwei Punkten (Scheiteln) berühren.
Diese Eigenschaft wird in der darstellenden Geometrie zur Konstruktion von Punkten der Schnittkurve von Rotationsflächen verwendet (siehe Hilfskugelverfahren.)
mini|hochkant=1.1|Kugelspirale mit
Clelia-Kurven Ist die Kugel in Parameterform
gegeben, so erhält man Clelia-Kurven, wenn man
setzt. Spezialfälle davon sind: vivianische Kurven () und Kugelspiralen ().
mini|hochkant=0.7|Loxodrome
Loxodrome Die Kurve auf der Erdkugel, welche die Meridiane (Längskreise) immer unter dem gleichen Winkel schneidet, ist eine Loxodrome. Sie schlingt sich spiralartig um die Pole, die ihre beiden asymptotischen Punkte sind, d. h. sie enthält nicht die Pole. Sie ist keine Kugelspirale im obigen Sinne. Es besteht kein einfacher Zusammenhang zwischen den Winkeln und .
Schnitte mit anderen Quadriken mini|hochkant=0.8|Schnittkurve Kugel-Zylinder
Wird eine Kugel von einer anderen Quadrik (Zylinder, Kegel, …) geschnitten, so entstehen Schnittkurven.
Beispiel: Kugel – Zylinder
Die Schnittkurve der Kugel mit der Gleichung und dem Zylinder mit der Gleichung besteht aus den Lösungen des nichtlinearen Gleichungssystems
(s. implizite Kurve, Bild)
Formeln
+ Formeln zur Kugel Geometrische Größe Formel Kugelradius Kugeldurchmesser Umfang (Großkreis) Volumen Oberfläche Projektionsfläche/Kugelquerschnitt Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht, nicht mit dem h in der Skizze unten identisch) Volumen einer Kugelkalotte Flächeninhalt einer Kugelkalotte Mantelfläche einer Kugelschicht Trägheitsmoment einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt) Trägheitsmoment einer Sphäre (Drehachse durch Mittelpunkt)
Volumen Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.
Kegelherleitung (archimedische Herleitung) mini|hochkant=1.5|Herleitung des Kugelvolumens nach Cavalieri
Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius und Höhe einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius und Höhe entfernt.
Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand haben.
Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
.
Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche
.
Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius und Innenradius . Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge
.
Für einen beliebigen Abstand zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.
Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:
Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.
Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:
.
Alternative Herleitung Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden: .
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung Radius im Abstand :
.
Kreisfläche im Abstand :
.
Volumen der Kugel :
.
Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments der Höhe berechnen:
.
Weitere Herleitungen Eine Kugel mit Radius , deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, lässt sich durch die Gleichung
beschreiben, wobei die Raumkoordinaten sind.
Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:
Wir parametrisieren die Kugel bis auf eine Lebesgue-Nullmenge durch
.
Mit der Funktionaldeterminante
ergibt sich das benötigte Volumenelement als
.
Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als
Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:
Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen und fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch und . Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das: (Stichwort: Flächenelement)
Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper
Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.
Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt
.
Die Gleichung für den Kreis ist
mit Mittelpunkt
.
Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir
.
Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man
Oberflächeninhalt Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert hat. Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
Ihr Flächeninhalt ist und damit gleich groß wie der der Mantelfläche des Kreiszylinders, der die Kugel umhüllt.
Die Kugel hat bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche – und damit das kleinste A/V-Verhältnis – aller möglichen Körper.
Geometrische Herleitung mini|hochkant=1.5|Tangente an einer Kugel (Seitenansicht) d = Höhe einer Schicht; r = Radius der Kugel; c = Länge eines Feldes; x = Abstand des Tangentialpunktes von der Mittelachse mini|hochkant=1.5|Kugelansicht
Teilt man eine Kugel auf in:
Schichten mit einer Höhe von jeweils und „Meridiane“, die am Äquator ebenfalls den Abstand zueinander haben und lässt man nach streben, so ist die Länge jedes Feldes umgekehrt proportional zu – also zu seinem Abstand von der Mittelachse. Dies wird aus der oberen Zeichnung rechts deutlich: ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse. Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche“ und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander ähnlich. Demnach gilt: . Die Breite jedes Feldes hingegen ist proportional zu . Dies ergibt sich direkt aus der unteren Zeichnung, „Ansicht von oben“.
Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß, d. h. alle viereckigen Felder haben denselben Flächeninhalt.
Der Flächeninhalt am Äquator beträgt ( wobei gegen strebt, da am Äquator schneller gegen strebt als gegen ).
Da alle Felder also den Inhalt haben und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also) Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: .
Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius . Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:
( = Gesamtoberfläche der Kugel)
Wegen ergibt sich:
Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der Differentialrechnung Da das Kugelvolumen mit
definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut
ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung Aus der ersten Guldin’schen Regel
für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten Für das Flächenelement auf Flächen = konstant gilt in Kugelkoordinaten:
.