Der Satz von Miljutin () ist ein bedeutender Satz aus der Theorie der banachschen Funktionenräume stetiger reellwertiger Funktionen und gehört als solcher dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis an. Er geht auf eine Publikation des Mathematikers Alexej Alexejewitsch Miljutin (1925–2001) aus dem Jahre 1966 zurück und liefert eine grundlegende Isomorphieaussage für eine gewisse Klasse dieser Funktionenräume.Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 73, S. 87–88, S. 93–94Graham R. Allan: Introduction to Banach Spaces and Algebras. 2011, S. 149Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 137, S. 658
Darstellung des Satzes Er besagt folgendes:Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 73, S. 94 Gegeben seien das reelle Einheitsintervall mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen und in gleicher Weise ein weiterer kompakter, metrischer Raum mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen , beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm .Nach dem Weierstraß'schen Satz vom Maximum stimmt hier die Supremumsnorm mit der Maximumsnorm überein.
Dann gilt: Ist als Menge überabzählbar, so ist zu isomorph. Insbesondere gilt weiter: Für je zwei überabzählbare kompakte metrische Räume und sind die zugehörigen banachschen Funktionenräume und stets isomorph.
Historie Es wird berichtet, dass Miljutin seinen Satz schon im Jahre 1952 im Rahmen seiner Dissertation vorgetragen, jedoch zunächst nicht in einer Fachzeitschrift veröffentlicht hätte. Erst Aleksander Pełczyński soll anlässlich eines Aufenthalts in Moskau in den 1960er Jahren Miljutin gedrängt haben, den Satz zu publizieren, woraufhin er in 1966 zur Veröffentlichung kam.Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 88 Hinsichtlich des Hintergrunds ist zu erwähnen, dass schon im Jahre 1932 Stefan Banach in seinem Werk Théorie des opérations linéaires die Frage aufgeworfen hatte, ob eine Isomorphie der beiden Funktionenräume und gegeben sei.Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 137Albrecht Pietsch verweist allerdings in seiner History of Banach Spaces and Linear Operators von 2007 nicht auf Pełczyńskis Rolle, sondern auf die Einflussnahme eines Mathematikers namens Wladimir Gurarij bzw. Vladimir I. Gurarii (1935–2005).
Verwandter Satz Auf den polnischen Mathematiker Karol Borsuk geht ein verwandter Satz aus dem Jahre 1933 zurück:Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 89Die dem borsukschen Satz zu Grunde liegende Fragestellung ähnelt, wie Graham R. Allan (vgl. Oxford 2011) anmerkt, der des tietzeschen Fortsetzungssatzes, wobei es Borsuk darum ging, eine lineare Fortsetzung zu gewinnen. Gegeben seien ein unendlicher, kompakter, metrischer Raum mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen sowie ein abgeschlossener Unterraum mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen , beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm .
Dann gilt: Es existiert ein stetiger linearer Operator mit folgenden Eigenschaften: (i) (ii) Hier steht die für die jeweilige konstante Funktion, deren jeweilige Bildmenge exakt aus der Zahl besteht. (iii) ist die Operatornorm.
Siehe auch Satz von Banach-Stone
Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Funktionalanalysis Miljutin