In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Hyperkählermannigfaltigkeit eine -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit , deren Holonomiegruppe eine Untergruppe der kompakten symplektischen Gruppe ist. Äquivalent hat sie drei Kähler-Strukturen , die den von den Quaternionen bekannten Relationen genügen.
Die Riemannsche Metrik heißt dann Hyperkählermetrik. Hyperkählermannigfaltigkeiten haben verschwindende Ricci-Krümmung und sind insbesondere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.
Beispiele Die komplex 2-dimensionalen Hyperkählermannigfaltigkeiten sind die K3-Flächen und die komplexen Tori . Hilbert-Schemata von Punkten auf K3-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten. Verallgemeinerte Kummer-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten. Wenn eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit holomorph symplektisch ist, dann ist sie eine Hyperkählermannigfaltigkeit.
Literatur N. Hitchin: Hyperkähler manifolds. Séminaire N. Bourbaki 34, S. 137–166
Kategorie:Kähler-Mannigfaltigkeit