Arithmetisches Mittel

hochkant=1.5|rechts|rahmenlos Das arithmetische Mittel, auch arithmetischer Mittelwert genannt (umgangssprachlich auch Durchschnitt), ist der gebräuchlichste Mittelwert. Er wird berechnet, indem die Summe der betrachteten Zahlen durch ihre Anzahl geteilt wird. Wie andere Mittelwerte beschreibt er das Zentrum einer Verteilung durch eine Zahl. Das arithmetische Mittel ist ein wichtiger Lageparameter in der Statistik.

Das arithmetische Mittel einer Stichprobe wird auch empirischer Mittelwert genannt.

Definition Das arithmetische Mittel einer Stichprobe mit Beobachtungswerten ist definiert als die Summe der Beobachtungswerte geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen:

.

Das Symbol spricht man als „ quer“. Wird das arithmetische Mittel nicht gewichtet (siehe Abschnitt Gewichtetes arithmetisches Mittel), dann wird es auch als einfaches arithmetisches Mittel oder ungewichtetes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Zum Beispiel ist das arithmetische Mittel der beiden Zahlen und

.

Das arithmetische Mittel beschreibt das Zentrum einer Verteilung durch eine Zahl und stellt somit einen Lageparameter dar. Das arithmetische Mittel ist sinnvoll für metrische Merkmale definiert. Im Allgemeinen ist es für qualitative Merkmale nicht geeignet, jedoch liefert es für dichotome Merkmale mit zwei Kategorien und eine sinnvolle Interpretation. In diesem Fall ist das arithmetische Mittel identisch mit der relativen Häufigkeit .Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 49. Gelegentlich wird zur Bezeichnung des arithmetischen Mittels auch das Durchschnittszeichen verwendet. Das arithmetische Mittel ist im Gegensatz zum empirischen Median anfällig gegenüber Ausreißern (siehe Median). Das arithmetische Mittel kann als „Mittelpunkt“ der Messwerte interpretiert werden. Es gibt allerdings keine Auskunft darüber, wie stark die Messwerte um das arithmetische Mittel streuen. Dieses Problem kann mit der Einführung der „mittleren quadratischen Abweichung“ vom arithmetischen Mittel, der empirischen Varianz, behoben werden.

Arithmetisches Mittel bei Häufigkeitsdaten Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen und den dazugehörigen absoluten Häufigkeiten ergibt sich das arithmetische Mittel als

mit . Das arithmetische Mittel lässt sich auch mithilfe der relativen Häufigkeiten berechnen:Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 50.

. Die Ausprägungen werden also mit den relativen Häufigkeiten gewichtet und aufsummiert.

Arithmetisches Mittel bei Schichtenbildung Bei einer geschichteten Stichprobe lässt sich das arithmetische Mittel für die Gesamterhebung aus den arithmetischen Mitteln in den Schichten berechnen: Ist eine Erhebungsgesamtheit vom Umfang in Schichten mit jeweiligen Umfängen und arithmetischen Mitteln zerlegt, so gilt für das arithmetische Mittel in

. Das arithmetische Mittel der Gesamterhebung ist also das gewichtete arithmetische Mittel der Mittelwerte , wobei die Gewichte die relativen Größen der Schichten in der Erhebnungsgesamtheit widerspiegeln.

Rekursive Darstellung des arithmetischen Mittels Bei der Betrachtung stationärer stochastischer Prozesse, bei denen die Daten in einer zeitlich geordneten Reihenfolge erfasst werden, bietet es sich an, eine Rekursions-Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittelwertes zu verwenden. Diese lässt sich direkt anhand der Grundformel des arithmetischen Mittelwertes herleiten. Wie in der angegebenen Formel ersichtlich werden für kleine die Daten stärker gewichtet und für große der zuvor berechnete arithmetische Mittelwert. Der Vorteil der Rekursions-Formel ist, dass die Daten nicht gespeichert werden müssen, was sich z. B. bei Anwendungen auf einem Microcontroller anbietet.

eite <math>h_n=\tfrac{b-a}{n}</math> das arithmetische MittelEin erster Schritt, diese rekursive Variante des arithmetischen Mittelwertes auch für zeitvariable stochastische Prozesse verwendbar zu machen, ist die Einführung eines sogenannten Vergessens-Faktors . Zeitvariabel bedeutet hier, dass der tatsächliche Erwartungswert in Abhängigkeit der Zeit variiert. Typischerweise ist davon auszugehen, dass die Scharmittelwerte den zeitlichen Mittelwerten entsprechen. Die Einführung des Vergessens-Faktors führt dazu, dass die Rekursions-Gleichung auf solche Änderungen reagieren kann. Eine Möglichkeit ist z. B. eine prozentuale Gewichtung des Grenzwertes für :

Zur Umgehung der rationalen Terme in Abhängigkeit von , lässt sich diese Gleichung auch direkt im Grenzwert wie folgt angeben:

Ob diese Vorgehensweise in einer bestimmten Anwendung praktikabel ist, gilt es natürlich zu klären. Zu beachten ist, dass sich durch die Verwendung des Grenzwertes ein anderes „Einschwingverhalten“ ergibt. Von systemtheoretischer (bzw. regelungstechnischer) Warte aus betrachtet, wird eine solche Rekursionsgleichung auch als zeitdiskretes PT1-Glied bezeichnet. In der praktischen Umgangssprache würde man den Parameter , so wie er hier beschrieben ist, als „Fummel-Faktor“ bezeichnen, was zum Vorschein bringen soll, dass dieser zunächst einmal nicht optimal gewählt ist. Weiterführend zu diesem Thema sind das Kalman-Filter, das Wiener-Filter, der rekursive Least-Square-Algorithmus, das Maximum-Likelihood-Verfahren und generell Optimalfilter zu nennen. mini|521x521px|Vergleich der rekursiven arithmetischen Mittelwerte mit und ohne Vergessensfaktor bei einem einfachen zeitvariablen stochastischen Prozess Nebenstehend ist exemplarisch das Verhalten der hier angegebenen Rekursions-Gleichungen, bei einem einfachen instationären, stochastischen Prozess (bereichsweise normalverteilt) zu sehen. Im Verlaufe der Zeit weisen der Erwartungswert sowie die Varianz der Zufalls-Daten ein sprunghaftes Verhalten auf. Die einfache Rekursionsgleichung ohne Vergessensfaktor (Arithmetic Mean 1) reagiert nur sehr träge auf das Verhalten des Datensatzes. Wohingegen die Rekursionsgleichungen mit Vergessensfaktor (Arithmetic Mean 2 und 3, ) deutlich schneller reagieren. Es fällt weiterhin auf, dass die Algorithmen mit Vergessensfaktor zu einem etwas größeren Rauschen führen. In diesem Beispiel sollte jedoch klar sein, dass die schnellere Reaktionszeit Vorrang hat. Die Ergebnisse „Arithmetic Mean 2“ und „Arithmetic Mean 3“ unterscheiden sich hier nur sehr gering voneinander. Je nach Datensatz, vor allem je nach Menge an Daten, kann dies deutlich anders aussehen.

Eigenschaften Ersatzwerteigenschaft Direkt aus der Definition des arithmetischen Mittels folgt

.

Wenn man das arithmetische Mittel mit dem Stichprobenumfang multipliziert, dann erhält man die Merkmalssumme.Horst Degen, Peter Lorscheid: Statistik-Lehrbuch: mit Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik. S. 42. Diese Rechenregel wird als Ersatzwerteigenschaft oder Hochrechnungseigenschaft bezeichnet und oft bei mathematischen Beweisen verwendet. Sie kann wie folgt interpretiert werden: Die Summe aller Einzelwerte kann man sich ersetzt denken durch gleiche Werte von der Größe des arithmetischen Mittels.

Schwerpunkteigenschaft Die Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert

werden auch als „scheinbare Fehler“ bezeichnet. Die Schwerpunkteigenschaft (auch Nulleigenschaft genannt) besagt, dass die Summe der scheinbaren Fehler bzw. die Summe der Abweichungen aller beobachteten Messwerte vom arithmetischen Mittel gleich Null ist, also

beziehungsweise im Häufigkeitsfall .

Dies lässt sich mithilfe der Ersatzwerteigenschaft wie folgt zeigen:

Die Schwerpunkteigenschaft spielt für das Konzept der Freiheitsgrade eine große Rolle. Aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des arithmetischen Mittels ist die letzte Abweichung bereits durch die ersten bestimmt. Folglich variieren nur Abweichungen frei und man mittelt deshalb, z. B. bei der empirischen Varianz, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade dividiert.Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 65.

Optimalitätseigenschaft

In der Statistik ist man oft daran interessiert die Summe der Abweichungsquadrate von einem Zentrum zu minimieren. Wenn man das Zentrum durch einen Wert auf der horizontalen Achse festlegen will, der die Summe der quadratischen Abweichungen

zwischen Daten und Zentrum minimiert, dann ist der minimierende Wert. Dieses Resultat kann durch einfaches Ableiten der Zielfunktion nach gezeigt werden:

.

Dies ist ein Minimum, da die zweite Ableitung von nach gleich 2, also größer als 0 ist, was eine hinreichende Bedingung für ein Minimum ist.

Daraus ergibt sich die folgende Optimalitätseigenschaft (auch Minimierungseigenschaft genannt):

für alle Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 54. oder anders ausgedrückt . bezeichnet analog zu (Argument des Maximums) das Argument des Minimums

Lineare Transformationseigenschaft Je nach Skalenniveau ist das arithmetische Mittel äquivariant gegenüber speziellen Transformationen. Werden die Beobachtungswerte linear in transformiert, so gilt für das arithmetische Mittel der transformierten y-Werte

,

da

.

Dreiecksungleichungen

Für das arithmetische Mittel gilt die folgende Dreiecksungleichung: Das arithmetische Mittel von positiven Merkmalsausprägungen ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel dieser Merkmalsausprägungen, also

.

Die Gleichheit ist nur gegeben, wenn alle Merkmalsausprägungen gleich sind. Weiterhin gilt für den Absolutbetrag des arithmetischen Mittels mehrerer Merkmalsausprägungen, dass er kleiner oder gleich dem quadratischen Mittel ist:

.I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 2. Auflage. 1995, S. 19 ff.

Beispiele Standardbeispiele Einfache Beispiele Das arithmetische Mittel aus 50 und 100 ist . Das arithmetische Mittel aus 8, 5 und −1 ist .

Durchschnittspreis Ein kleiner Lebensmittelladen möchte alle Sorten Kartoffeln zum gleichen Preis verkaufen. Die Kartoffeln kosten je nach Sorte und Menge unterschiedlich viel. Um den durchschnittlichen Preis der Kartoffeln zu berechnen, wird die Methode der Berechnung des arithmetischen Mittels für Häufigkeitsdaten verwendet. Dabei sind die unterschiedlichen Mengen die absoluten Häufigkeiten und die unterschiedlichen Preise die Häufigkeiten, für die der Mittelwert berechnet wird. + Beispiel für einen Durchschnittspreis Sorte Adretta (mk) Agata (vfk) Linda (fk) insgesamt Menge 25 kg 25 kg 100 kg 150 kg pro kg 1,80 € 2,00 € 2,20 € 2,10 €

Der Lebensmittelladen kann also alle 150 kg Kartoffeln zu 2,10 € pro kg verkaufen und erzielt damit den gleichen Umsatz (315 €) als wenn er die unterschiedlichen Preise für jede Sorte genommen hätte.

Geschwindigkeitsvergleich Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauf folgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in zwei Stunden zurückzulegen?

Der Weg , den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt

und der des zweiten Autos

wobei die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. Aus ergibt sich

und damit

Komplexeres Beispiel (Notengebung) Die Bildung arithmetischer Mittel aus Schulnoten kann in bestimmten Fällen auf den ersten Blick paradox erscheinen.

Angenommen, eine Endnote setzt sich zu jeweils 50 Prozent aus zwei Teilnoten zusammen, den Klassenarbeiten einerseits und der sonstigen Mitarbeit andererseits.

Das nachfolgende Beispiel zeigt, wie in diesem Fall die Endnote berechnet wird: Aus den Noten 4, 3 und 6 der Klassenarbeiten wird das arithmetische Mittel ermittelt.