In der Mathematik werden holomorphe quadratische Differentiale verwendet, um Deformationen komplexer Strukturen auf Riemannschen Flächen zu beschreiben.
Sei eine Riemannsche Fläche. Ein holomorphes quadratisches Differential ist eine holomorphe Funktion , so dass für alle
für alle gilt.
Diese Transformationsregel bedeutet, dass der Tensor invariant unter der Wirkung von ist. Insbesondere ist invariant und definiert ein Maß auf . Wenn das Maß von endlich ist, heißt integrabel. Der Banach-Raum integrabler holomorpher quadratischer Differentiale mit der -Norm wird mit bezeichnet. Wenn endliches hyperbolisches Volumen hat, dann ist , wobei das Geschlecht und die Anzahl der Punktierungen ist. Wenn unendliches hyperbolisches Volumen hat, dann ist . Man kann als Tangentialraum des Teichmüller-Raumes interpretieren.
Literatur
J.-P. Otal: Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Hsiung, C. C. (ed.) et al., Surveys in differential geometry. Vol. III. A supplement to the Journal of Differential Geometry. Lectures on geometry and topology in honor of the 80th birthday of Chuan-Chih Hsiung, Harvard University, Cambridge, MA, USA, May 3-5, 1996. Boston, MA: International Press. 77-194 (1998).
Kategorie:Funktionentheorie