Diskrete orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome bezüglich eines diskreten Maßes. Solche Polynome findet man unter anderem in der Stochastik und in der statistischen Physik, wo man mit diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu tun hat.
Beispiele sind die Meixner-Polynome, die Krawtschuk-Polynome, die diskreten Tschebyscheff-Polynome, die Hahn-Polynome und die Charlier-Polynome.
Diskrete orthogonale Polynome Konstruktion eines diskreten Maßes mit Gewichtsfunktion Sei , eine natürliche Zahl oder Unendlich, eine positive Folge, das heißt , eine Folge reeller Zahlen, welche den Träger bilden werden, eine σ-Algebra, welche mindestens alle Singletons enthält, das Diracmaß bezüglich auf der σ-Algebra , das bedeutet für eine Menge ist dieses Maß wie folgt definiert .
Nun definieren wir ein diskretes Maß auf mit Hilfe der Diracmaße und der beiden Folgen
Weiter soll gelten, dass endliche Momente hat (das bedeutet wenn eine Zufallsvariable , dann gilt für alle ).
Für die Folge können wir nun eine Gewichtsfunktion durch
definieren.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir nun als Träger für alle , dann ist die Gewichtsfunktion durch
und das diskrete Maß durch
gegeben.
Diskrete orthogonale Polynome Eine Familie von orthogonalen Polynome heißt diskret, wenn sie orthogonal bezüglich eines diskreten Maßes mit Gewichtsfunktion sind, das heißt wenn
erfüllt ist, wobei das Kronecker-Delta bezeichnet. Die linke Seite dieser Formel beschreibt ein Skalarprodukt
Beispiele Meixner-Polynome (Negative Binomialverteilung): und wobei die Orthogonalität nur für und gilt. Charlier-Polynome (Poisson-Verteilung): und
Sonstiges Sei eine Funktion definiert durch die Beziehung
Betrachtet man allgemeine orthogonale Polynome mit einer Gewichtsfunktion und sei eine Funktion definiert durch die Beziehung
so entspricht dem diskreten Pendant der Funktion respektive .
Differenzengleichung Es lässt sich beweisen, dass jedes diskrete orthogonale Polynom einer Differenzengleichung zweiter Ordnung genügt, wenn das Maß einen Träger über einer Halbgeraden mit äquidistanten Punkt besitzt (d. h. ein Gitter). Annahmen Sei eine Familie orthogonaler Polynome bezüglich eines diskreten Maßes mit Träger
Wir nehmen an, dass gerade vom Grad ist und die Gewichtsfunktion normalisiert ist, d. h. es gilt und
Weiter nehmen wir an, dass auf die Gewichtsfunktion nicht konstant ist, aber für die Randpunkt gilt und .
Weiter notieren wir mit den Differenzoperator Die Funktion haben wir im vorherigen Abschnitt definiert.
Aussage des Theorems Sei
ein diskretes orthogonales Polynom, welches die vorherigen Annahmen erfüllt. Dann gilt
wobei und wie folgt definiert sind
und
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Theorie der Polynome Kategorie:Polynom