Die optionale σ-Algebra bezeichnet in der Theorie der stochastischen Prozesse eine σ-Algebra auf dem Produktraum , die von den adaptierten Càdlàg-Prozessen erzeugt wird.
Ein Prozess, der messbar bezüglich dieser σ-Algebra ist, heißt optional.
Definition
Sei ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, der die üblichen Bedingungen erfüllt.
Die optionale σ-Algebra (oder notiert) ist die σ-Algebra auf , die von den -adaptierten Càdlàg-Prozessen erzeugt wird. Ein Prozess, der messbar bezüglich dieser σ-Algebra ist, d. h. die Abbildung ist -messbar, heißt optional.
Eigenschaften Sei die vorhersagbare σ-Algebra und die progressiv messbare σ-Algebra. Dann gilt die Inklusion
Wichtige Sätze Die folgenden Sätze heißen Sektionssatz () und Projektionssatz (). Von beiden gibt es eine optionale Variante und eine vorhersagbare Variante.
Für beide Sätze setzen wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum voraus, der die üblichen Bedingungen erfüllt. Optionaler Sektionssatz Für eine Stoppzeit definieren wir ihren Graphen , weiter definieren wir die kanonische Projektion .
Sei eine optionale Menge. Für jedes existiert eine Stoppzeit , so dass für den Graphen gilt.
Optionaler Projektionssatz Sei ein messbarer Prozess, der entweder positiv oder beschränkt ist. Dann existiert ein eindeutiger (bis auf Ununterscheidbarkeit) optionaler Prozess , so dass fast sicher für jede Stoppzeit .
Der Prozess heißt optionale Projektion und wird auch mit notiert.
Einzelnachweise
Kategorie:σ-Algebra Kategorie:Stochastischer Prozess