In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe als „aktiver“ Teil und eine Menge als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements auf der Menge ist eine Transformation (bijektive Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente auf den Elementen der Menge in der Weise, dass die Aktion des Produkts der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht.
Die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt
Ist bei der Menge zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische oder topologische, wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt.
Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.
Einführendes Beispiel: Würfelgruppe und Raumdiagonalen
Datei:Cube rotation and reflection and mirror(de).svg seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h., und sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken: und gleichzeitig
Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die vier Raumdiagonalen vertauscht, nämlich
Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene (viertes Bild), lässt die zwei Raumdiagonalen und fest und vertauscht die anderen zwei: und Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht und gleichzeitig und gleichzeitig und gleichzeitig
Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale, wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.
Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.
Es gibt zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar und ), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißt Transposition, und diese Transpositionen erzeugen die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt
Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)
Definition
(Links-)Aktion Eine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe auf einer Menge ist eine äußere zweistellige Verknüpfung
mit folgenden Eigenschaften: für alle , wobei das neutrale Element von ist („Identität“), für alle („Verträglichkeit“).
Man sagt dann, operiert (von links) auf , und nennt zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke)
Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes die Transformation eine Bijektion (mit der Umkehrabbildung ) auf ist. Im Falle endlicher Mengen spricht man von einer Permutation auf : Für jedes liegt in der symmetrischen Gruppe . Die Aktionen der Gruppenelemente lassen sich also durch Permutationen auf „darstellen“. Bei unendlicher Menge ist der Begriff der Permutation (für eine bijektive Selbstabbildung auf einer Menge) unüblich. Die Menge ist im unendlichen Falle in der Regel mit einer (algebraischen, geometrischen oder topologischen) Struktur versehen, und von den Gruppenaktionen wird die Verträglichkeit mit diesen Strukturen verlangt („Automorphismen“): Die Aktionen der Gruppenelemente lassen sich dann als gewisse Automorphismen auf dem Objekt „darstellen“, je nachdem, worum es sich bei handelt, soll heißen, welcher Kategorie das Objekt angehört. Auf der Trägermenge wird ein Hüllensystem induziert (bspw. das Hüllensystem (der Verband) der Zwischenkörper), dessen Hüllenoperator (Hülleneigenschaften) durch die Kategorie, welcher das Objekt angehört, bestimmt ist und mit dem sich die Gruppenoperation ebenfalls verträgt. Wenn im Folgenden also von der symmetrischen Gruppe oder von Permutationen die Rede ist, so darf stillschweigend angenommen werden, dass endlich ist. Gruppenoperationen auf endlichen Mengen lassen sich als Teil der Darstellungstheorie endlicher Gruppen auffassen, vgl. hierzu das Beispiel zur Darstellung durch Permutationsmatrizen. Doch alle Begrifflichkeiten und Aussagen gelten mutatis mutandis auch für den Fall einer unendlichen Menge mit einer geeigneten Struktur, wenn anstelle der symmetrischen Gruppe die Automorphismengruppe betrachtet wird und die Gruppenoperation sowie die Gruppenaktionen mit der auf bzw. vorliegenden Struktur verträglich sind. Beispiele hierfür gibt die allgemeine Darstellungstheorie, doch auch der Abschnitt Beispiele vermittelt hierfür einen ersten Eindruck.
Des Weiteren folgt erneut aus den Operationseigenschaften, dass eine Gruppenoperation von auf mit einem Gruppenhomomorphismus von in die symmetrische Gruppe gleichgesetzt werden kann:
Dieser Gruppenhomomorphismus heißt eine Permutationsdarstellung der Gruppe, da seine Wirkung auf durch Permutationen dargestellt wird.
Rechtsaktion Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung
mit für alle und das neutrale Element von für alle
Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen auf operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst und dann , während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.
Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt von links von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation gibt es eine Linksoperation
denn
und
Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.
Bei der Betrachtung der Abbildung ist allerdings Vorsicht geboten: Bei einer Linksoperation ist sie ein Gruppenhomomorphismus, weil Funktionssymbole üblicherweise auch linksseitig notiert werden: „“. Bei operiert daher zuerst und anschließend . Das entspricht der Reihenfolge bei einer Linksoperation gemäß der Eigenschaft der Verträglichkeit. Operiert die Gruppe aber von rechts, so handelt es sich um einen Antihomomorphismus von Gruppen, es sei denn, man trifft Vorkehrungen, wie oben geschildert, um dies zu verhindern.
Weitere Begriffe
Homomorphismen zwischen G-Mengen Wenn eine weitere Menge mit einer -Linksoperation ist und eine Abbildung, so dass für alle und für alle gilt:
dann wird als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von -Mengen bezeichnet.
Bahn Es sei die (Links-)Operation einer Gruppe auf einer Menge Für jedes nennt man dann
die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von
Die Bahnen bilden eine Partition von Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes nennt man die durch
gegebene Abbildung die „Orbitabbildung“.
Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation der Konjugation (unter der Operation der Gruppe , scil.): Elemente heißen (unter der Gruppenoperation) konjugiert, (in Zeichen: „“) genau dann, falls es ein gibt, für das gilt.Von Lateinisch coniugare: „(zu einem Paar) verbinden, verknüpfen; verheiraten“: Konjugierte Elemente sind mit Hilfe der Gruppenoperation miteinander verknüpft, nämlich durch die Operation des geeigneten bzw. . Offenbar sind zwei Elemente einer Bahn stets konjugiert.
Die Menge der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt und besteht demnach aus den Konjugationsklassen (unter der Gruppenoperation).
Für eine Rechtsoperation definiert man analog
und
Fundamentalbereich
Seien eine Menge und eine Transformationsgruppe von . Für einen Punkt bezeichne die Bahn von . Dann heißt die Menge ein Fundamentalbereich von , wenn der Schnitt für jedes eine einelementige Menge ist. Mit anderen Worten enthält ein Fundamentalbereich genau einen Punkt aus jeder Bahn und ist damit dasselbe wie ein Repräsentantensystem der durch die Operation auf der Menge induzierten Äquivalenzrelation.
Beispiel Das Quadrat ist ein Fundamentalbereich von bezüglich der Transformationsgruppe . Jeder Punkt lässt sich schreiben als mit und .
Transitive und scharf transitive Operationen Man bezeichnet die Gruppenoperation von auf als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe operiert (einfach) transitiv auf “, wenn es zu je zwei Elementen ein gibt, so dass gilt. Es genügt sogar, dies nur für ein fest gewähltes zu fordern, das heißt: Ist , so operiert (einfach) transitiv, wenn es zu jedem ein gibt mit . („Jedes Element von ist zu einem fest gewählten konjugiert.“)
Ist ein Gruppenelement mit darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.
Transitive Gruppenoperationen auf sind demnach dadurch gekennzeichnet, dass sie nur eine Bahn besitzen, die ganz umfasst, mit anderen Worten: Je zwei beliebige Elemente aus sind zueinander konjugiert.
Besitzt sie mehr als nur eine Bahn, so heißt die Gruppenoperation intransitiv.
Gibt es sogar zu jedem Paar mit und jedem Paar mit ein Gruppenelement , für das und ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.
Allgemein induziert eine Operation der Gruppe auf für eine Operation durch
Da hierbei stets gilt, lässt sich diese Operation auf jene Teilmenge beschränken, die nur diejenigen Tupel mit paarweise verschiedenen Einträgen enthält.
Ist (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation (scharf) -fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via genau dann -fach transitiv auf , wenn transitiv operiert, scharf -fach transitiv auf , wenn auf scharf einfach transitiv operiert, das heißt, wenn es für (also für „-Tupel ohne Doppelnennung“) stets genau ein Gruppenelement mit gibt.
Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.
Bei der Anwendung auf Graphen begegnet man, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind, den kurzen Formulierungen „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) anstelle der ausführlichen Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“.
Beispiele Die (Kleinsche) Vierergruppe operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge , da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Dies gilt nicht für die Operation der Vierergruppe auf . Dabei sind und zueinander isomorph und zur Diedergruppe der Ordnung vier.