Die Hilbertschen Probleme sind eine Liste von 23 Problemen der Mathematik. Sie wurden von dem deutschen Mathematiker David Hilbert am 8. August 1900 beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris vorgestellt und waren zu diesem Zeitpunkt ungelöst.Ina Kersten: . Universität Bielefeld, 2000.David Hilbert: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse aus dem Jahre 1900. Heft 3, Commissionsverlag der Dieterich’schen Universitätsbuchhandlung Lüder Horstmann, Göttingen 1900, S. 253–297. (Digitalisat im Göttinger Digitalisierungszentrum, abgerufen am 12. Januar 2025). mini|David Hilbert (etwa 1900)
Geschichte Vorgeschichte und Hintergrund Hilberts Vorbereitung auf den Mathematikerkongress 1900 Hilbert war eingeladen worden, für den zweiten internationalen Mathematikerkongress im August 1900 in Paris einen Vortrag zu halten. Er entschloss sich, keinen „Festvortrag“ zu halten, in dem er das bisher in der Mathematik Erreichte referieren und würdigen würde, und auch nicht auf den Vortrag von Henri Poincaré beim ersten internationalen Mathematikerkongress 1897 zu antworten, der über die Beziehung von Mathematik und Physik vorgetragen hatte. Sein Vortrag sollte stattdessen gewissermaßen einen programmatischen Ausblick auf die zukünftige Mathematik im kommenden Jahrhundert bieten. Diese Zielsetzung kommt in seinen einführenden Worten zum Ausdruck:
Er nahm den Kongress daher zum Anlass, eine thematisch breit gefächerte Liste von ungelösten mathematischen Problemen zusammenzustellen. Bereits im Dezember 1899 begann er, sich über das Thema Gedanken zu machen. Zu Beginn des neuen Jahres bat er dann seinen engen Freund Hermann Minkowski sowie Adolf Hurwitz um Vorschläge, welche Gebiete ein entsprechender Vortrag abdecken müsse; beide lasen das Manuskript und kommentierten es vor dem Vortrag. Endgültig niedergeschrieben hat Hilbert seine Liste allerdings erst unmittelbar vor dem Kongress – im offiziellen Kongressprogramm taucht sie deshalb noch gar nicht auf. Ursprünglich sollte der Vortrag zur Eröffnung gehalten werden, Hilbert arbeitete zu diesem Zeitpunkt aber noch daran.Constance Reid: Hilbert-Courant, Springer, 1986, S. 73.
Mathematikerkongress Zum Kongress waren weniger Mathematiker gekommen als erwartet (rund 250 statt wie erwartet 1000). Hurwitz und Felix Klein waren nicht anwesend, dafür Minkowski. Hilbert war Präsident der Sektion Algebra und Zahlentheorie, die vom 7. August (dem zweiten Tag der Konferenz) bis zum 10. August tagte. Der Vortrag von Hilbert fand im Rahmen der Sektionen 5 und 6 (Bibliographie, Geschichte, Unterricht und Methoden, Präsidentschaft Moritz Cantor) am Mittwoch, den 8. August vormittags an der Sorbonne statt.
Aus Zeitgründen stellte er zunächst nur zehn Probleme vor (Nr. 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22). Die Anwesenden erhielten eine französische Zusammenfassung der Liste, die wenig später in der schweizerischen Zeitschrift L’Enseignement Mathématique erschien.Hilbert: Problèmes mathématiques. In: L’enseignement mathématique. Band 2, 1900, S. 349–354 (online). Der vollständige deutsche Originalartikel erschien kurze Zeit später in den Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen und im Jahr 1901 mit einigen Ergänzungen im Archiv der Mathematik und Physik.Im Archiv und auch in der französischen Fassung im 1902 erschienenen Kongressbericht erwähnt er zum Beispiel bei Problem 14 die Fortschritte, die Adolf Hurwitz 1897 in der Invariantentheorie erzielte (allgemeiner Beweis der Endlichkeit der Invarianten bei der orthogonalen Gruppe).
Im Jahr 2000 entdeckte der deutsche Historiker Rüdiger Thiele in den Original-Notizen Hilberts ein 24. Problem,Rüdiger Thiele: (PDF; 197 kB). In: American Mathematical Monthly. Bd. 110, Nr. 1, Januar 2003, , S. 1–24. das jedoch in der endgültigen Version der Liste fehlte und dem Gebiet der Beweistheorie zugeschrieben werden kann.
Probleme der Arbeit Formulierung der Problemstellung Die Mathematik zur Jahrhundertwende war noch wenig gefestigt. Die Tendenz, Worte durch Symbole und vage Konzepte durch strenge Axiomatik zu ersetzen, war noch nicht sehr ausgeprägt und sollte erst der folgenden Mathematikergeneration erlauben, ihr Fach stärker zu formalisieren. Hilbert konnte noch nicht auf die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, Begriffe wie den topologischen Raum und das Lebesgue-Integral oder die Church-Turing-These zurückgreifen. Die Funktionalanalysis, die unter anderem von Hilbert selbst mit der Einführung des nach ihm benannten Hilbert-Raumes begründet wurde, hatte sich als mathematisches Gebiet noch nicht von der Variationsrechnung abgetrennt.
Viele der Probleme in Hilberts Liste sind – zum Teil auch aus diesem Grund – nicht so genau und eingeschränkt formuliert, dass sie eindeutig durch die Veröffentlichung eines Beweises gelöst werden könnten. Manche Probleme sind weniger konkrete Fragestellungen als eher Aufforderungen, auf bestimmten Gebieten zu forschen; bei anderen Problemen sind die Fragen zu vage gestellt, um genau sagen zu können, was Hilbert als Lösung angesehen hätte.
Ein Irrtum Hilberts allerdings, der jedoch die Formulierung der Probleme nicht beeinträchtigt, ist in der Einleitung des Artikels zu finden. Dort bringt er seine Überzeugung zum Ausdruck, dass jedes Problem grundsätzlich lösbar sein muss:
Lösbarkeit der Probleme Der grundlegende erkenntnistheoretische Optimismus Hilberts musste etwas relativiert werden. Spätestens 1931 mit der Entdeckung des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes und Turings Beweis von 1936, dass das Entscheidungsproblem nicht lösbar ist, kann dieser Denkansatz Hilberts in der ursprünglichen Formulierung als zu eng gefasst betrachtet werden. Das entwertet die Liste jedoch nicht, denn auch negative Lösungen, wie zum Beispiel des zehnten Problems, führen mitunter zu großem Erkenntnisgewinn.
Auswahl der Probleme Die Auswahl der Probleme ist eine teilweise sehr persönliche Auswahl von Hilbert und erwuchs aus seiner eigenen Arbeit, wobei er sich aber wie erwähnt mit seinem engen Freund Minkowski und Hurwitz (der für die Vielseitigkeit seiner mathematischen Arbeit und seinen enzyklopädischen Überblick bekannt war) beriet. Ivor Grattan-GuinnessGrattan-Guinness, Notices AMS, August 2000, loc. cit. nennt einige auffällige Lücken.
Zum einen die große Fermat-Vermutung und das Dreikörperproblem (worüber Poincaré viel arbeitete), die er zwar in der Einleitung als Paradebeispiele mathematischer Probleme erwähnt, aber nicht in seine Liste aufnimmt. Angewandte Mathematik ist wenig vertreten (man könnte höchstens Problem 6 dort einordnen), ebenso wenig numerische Mathematik (nur kurz in Problem 13 erwähnt, dessen Kern aber anderswo liegt) und das später Funktionalanalysis genannte Teilgebiet der Analysis, auf dem Hilbert selbst 1903 bis 1910 intensiv arbeitete. Die Elektrodynamik bewegter Körper (Vorgeschichte der Relativitätstheorie) fehlte ebenfalls und war damals ein sehr aktives Forschungsgebiet, auf dem auch Poincaré arbeitete und über das Joseph Larmor, der auch bei einer Sektion auf dem Kongress präsidierte, im selben Jahr ein bedeutendes Buch veröffentlichte (Aether and Matter).
Auslassung von mathematischer Logik, Statistik und Matrix-Theorie (Lineare Algebra) findet Grattan-Guinness dagegen verständlich, da sie damals noch nicht wie heute eine so prominente Stellung erhielten. Im Gegensatz dazu legte Poincaré in seinem Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress von 1908 über die Zukunft der Mathematik, gewissermaßen eine Antwort auf Hilbert, viel Wert auf Anwendungen, stellte die künftige Entwicklung der Topologie („Geometrie der Lage“) als zentrales Anliegen der Mathematik heraus (bei Hilbert taucht sie in Problem 5 und 16 auf) und betonte auch die Bedeutung der Mengenlehre („Cantorismus“), bei Hilbert gleich in Problem 1 vertreten. Seine Darstellung war aber insgesamt viel vager und skizzenhafter als bei Hilbert.
Einfluss der Liste Reaktionen der Kongressbesucher Die unmittelbare Reaktion auf dem Kongress war nach der Schilderung von Charlotte Angas Scott enttäuschend, möglicherweise dem trockenen Vortragsstil von Hilbert geschuldet oder Sprachproblemen (Hilbert trug auf Deutsch vor, hatte aber zuvor eine Zusammenfassung auf Französisch verteilen lassen).Charlotte Angas Scott: The International Congress of Mathematicians in Paris. Bulletin AMS, Band 7, 1900, S. 57–79. Sie nannte (S. 68) die anschließende Diskussion desultory („halbherzig“). Es meldete sich Giuseppe Peano zu Wort, um zu bemerken, dass seine Schule (Cesare Burali-Forti, Mario Pieri, Alessandro Padoa) das Problem der Grundlegung der Arithmetik im Wesentlichen gelöst hätteEr verwies auf Band 7, Nr. 1 der von ihm herausgegebenen Rivista di Matematica. und sein Schüler Alessandro Padoa darüber auf dem gleichen Kongress einen Vortrag halten würde.Padoa: Un nouveau système irreductible de postulats pour l’algèbre. ICM 1900. Padoa ging außerdem in Le problème no. 2 de M. David Hilbert (in: L’enseignement mathématique. Band 5, 1903, S. 85–91) direkt auf Hilberts Vortrag und sein zweites Problem ein.
Der beim Vortrag ebenfalls anwesende Rudolf Mehmke machte eine Bemerkung über Fortschritte durch numerische (nomographische) Methoden im Problem 13, speziell bei der Gleichung 7. Grades.Hilbert ergänzte daraufhin die gedruckte Version im Archiv für Mathematik und Physik um ein Literaturzitat von Maurice d’Ocagne. Nach Grattan-Guinness: A sideways look at Hilbert’s twenty-three problems of 1900. Notices AMS, August 2000. Von Poincaré ist keine Reaktion bekannt, wahrscheinlich war er auch nicht beim Vortrag Hilberts anwesend.Hilbert bemerkte in einem Brief an Adolf Hurwitz vom 25. August, dass die Konferenz nicht sehr stark war weder in quantitativer noch in qualitativer Hinsicht und Poincaré nur seinen Pflichten gehorchend den Kongress besuchte und beim Schlussbankett, bei dem er präsidieren sollte, fehlte. Zitiert bei Grattan-Guinness, Notices AMS, August 2000, S. 757. Nach Ivor Grattan-Guinness war er damals mehr an angewandten Fragen interessiert und außerdem dem axiomatischen Zugang weniger zugetan. Auf demselben Kongress trug er in einem der beiden Schlussvorträge am 11. August über die Rolle von Intuition und Logik in der Mathematik vor und betonte die Rolle der Intuition. Später griff er aber das Problem der Uniformisierung (Hilberts Problem 22) auf und in seinem Vortrag über die Zukunft der Mathematik auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1908 in Rom reihte er auch das Problem der Grenzzyklen (Teil von Problem 16, bei dem Hilbert explizit auf Poincaré Bezug nahm) in seine eigene Problemliste ein. Dort lobt er auch Hilbert für seine Arbeiten zur axiomatischen Methode und beim Dirichlet-Problem. Bei Herausgabe des Konferenzbandes 1902 würdigte man ausdrücklich die Wichtigkeit des Hilbertschen VortragsCompte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens. Paris, Gauthier-Villars, 1902, S. 24. und druckte ihn deshalb außerhalb seiner Sektion am Anfang ab, unmittelbar gefolgt von dem Vortrag von Poincaré.
Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik