Der Augapfelsatz (englisch: Eyeball Theorem) beinhaltet die Längengleichheit von Sehnen in zwei sich nicht schneidenden Kreisen.Eyeball Theorem Wolfram Math World, abgerufen am 29. September 2022
Der Name rührt daher, dass die beiden Kreise als Augäpfel mit gleich großen Bildern gedeutet werden.Zweikreisfiguren aus mathematische-basteleien.de, abgerufen am 29. September 2022David Acheson: Das Wunder der Geometrie, Anaconda-Verlag (2022), Seite 133 Entdeckt wurde der Satz 1960 von dem peruanischen Mathematiker Antonio Gutierrez. David Acheson: The Wonder Book of Geometry. Oxford University Press, 2020, ISBN 9780198846383, S. 141–142 Allerdings war die Aussage inklusive eines Beweises aber ohne einen Namen bereits 1938 in einem Artikel von G. W. Evans in der Zeitschrift The Mathematics Teacher publiziert worden.Emmanuel Antonio José García: A Variant of the Eyeball Theorem. In: The College Mathematics Journal, Band 53, 2022 - Ausgabe 2, S. 147–148 Evans bemerkte zudem, dass die Aussage als Problem formuliert aus einer früheren Examensprüfung stamme.George W. Evans: Ratio as a Multiplier. In: The Mathematics Teacher, Band 31, Nr. 3 (März 1938), S. 114–116 (JSTOR)
Mathematische Aussage mini|hochkant=1.5 mini|hochkant=1.5 Unter den Voraussetzungen, dass zwei sich nicht schneidende Kreise die Mittelpunkte und haben, die beiden Tangenten durch an den Kreis mit dem Mittelpunkt den Kreis um in den Punkten und schneiden und die beiden Tangenten durch an den Kreis mit dem Mittelpunkt den Kreis um in den Punkten und schneiden,
sind die Sehnen und längengleich.
Beweis: Da die Gesamtfigur achsensymmetrisch zur Geraden durch und ist, genügt mit und der Nachweis von .
Das große grün gefärbte Dreieck ist im geometrischen Sinne ähnlich zu dem kleinen mit dunklerem Grün gefärbten Dreieck, weil beide Dreiecke in zwei Innenwinkeln übereinstimmen, nämlich in dem gemeinsamen Winkel und jeweils einem rechten Winkel.
Deshalb gilt mit den Bezeichnungen aus nebenstehender Zeichnung die Verhältnisgleichung und damit .
Das große blau gefärbte Dreieck ist im geometrischen Sinne ähnlich zu dem kleinen mit dunklerem Blau gefärbten Dreieck, weil beide Dreiecke in zwei Innenwinkeln übereinstimmen, nämlich in dem gemeinsamen Winkel und jeweils einem rechten Winkel.
Deshalb gilt die Verhältnisgleichung und damit .
Folglich gilt .Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 130 und 131
Literatur Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 131–132 Antonio Gutierrez: Eyeball theorems. In: Chris Pritchard (Hrsg.): The Changing Shape of Geometry. Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching. Cambridge University Press, 2003, ISBN 9780521531627, S. 274–280
Weblinks
The Eyeball Theorem auf cut-the-knot.org The Eyeball Theorem auf planet.nl Eyeball Theorem auf der Website Geometry from the Land of the Incas
Einzelnachweise
Kategorie:Geometrie