Das Lemma von Toeplitz () ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der auf den Mathematiker Otto Toeplitz (1881–1940) zurückgeht und eng mit dem Lemma von Kronecker verwandt ist. Beide Lemmata liefern wichtige Aussagen zur Konvergenz von Folgen reeller Zahlen, die nicht zuletzt für den Beweis des Ersten und Zweiten Gesetzes der großen Zahlen bedeutsam sind.A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 380–383Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Fünfter Band. Sed bis Zyl. 2002, S. 213M. Loève: Probability Theory I. 1977, S. 250 ff.
Formulierung Das Lemma lässt sich wie folgt angeben:Širjaev, op. cit., S. 383 Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge aus lauter nichtnegativen Zahlen. Die zugehörige Partialsummenfolge der soll durchweg aus positiven Zahlen bestehen und unbeschränkt sein.Es ist demnach mit .
Weiter gegeben sei eine konvergente reelle Zahlenfolge mit dem Grenzwert . ist der Körper der reellen Zahlen.
Dann gilt .
Korollar Die obige Schlussfolgerung gilt insbesondere – bei sonst gleichen Voraussetzungen – für den Spezialfall .
Man hat dann also: .
Allgemeiner Grenzwertsatz In seinem Lehrbuch Probability Theory I hat Michel Loève eine noch allgemeinere Fassung des Lemmas von Toeplitz geliefert, welche Matrizen anstelle von Folgen zugrunde legt und dabei das Toeplitz’sche Lemma in der obigen Fassung miteinschließt.Loève, op. cit., S. 250
Zu dieser von Loève gegebenen Fassung des Lemmas gehört wiederum ein allgemeiner Grenzwertsatz, der auf einer Arbeit von Otto Toeplitz aus dem Jahre 1911 beruhtHier findet auch die Benennung des Lemmas nach Toeplitz eine Erklärung. und mit dem eine Verallgemeinerung eines früheren Grenzwertsatzes von Augustin Louis Cauchy vorliegt. Konrad Knopp bezeichnet ihn in seinem Lehrbuch Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen auch als Cauchy-Toeplitz’schen Grenzwertsatz.Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. , 6. Auflage, 1996, S. 73 ff., 404 ff.
In seiner am weitesten gehenden Version lässt sich dieser Satz folgendermaßen formulieren:Knopp, op. cit., S. 404–405 Gegeben seien eine komplexwertige Nullfolge sowie eine unendliche Matrix , deren Elemente also ebenfalls komplexe Zahlen sein sollen. besteht aus den ganzen Zahlen . ist der Körper der komplexen Zahlen, versehen mit der komplexen Betragsfunktion.
Dabei sollen zusätzlich die folgenden beiden Bedingungen gelten:
(i) Für jeden Spaltenindex bilden die Elemente der -ten Spalte von eine Nullfolge .
(ii) Für jeden Zeilenindex bilden die Elemente der -ten Zeile von eine absolut konvergente Reihe.
Dann gilt: Bildet man für jeden Zeilenindex die zugehörige Reihe , so gewinnt man eine absolut konvergente Reihe und die dadurch gegebene Zahlenfolge ist ebenfalls eine komplexwertige Nullfolge.
Literatur
Weblinks Eintrag Toeplitz, Lemma von im Lexikon der Mathematik (2017) Silverman–Toeplitz theorem (englischsprachige Wikipedia)
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Analysis Kategorie:Folgen und Reihen Toeplitz, Lemma von