Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie versteht man unter einer Galileo-Folge () eine Zahlenfolge natürlicher Zahlen, bei der für jede Partialsumme die darauf folgende doppelt so lange Partialsumme zu ersterer in einem festen natürlichzahligen Verhältnis steht. Die Bezeichnung verweist auf Galileo Galilei (1564–1642), der auf diese Art von Zahlenfolgen durch die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen aufmerksam wurde.Kenneth O. May: Galileo sequences, a good dangling problem. In: Amer. Math. Monthly, 79, S. 67–69J. J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. 1999, S. 23.
Formale Beschreibung Sie lässt sich wie folgt angeben:
Gegeben sei eine Zahlenfolge Hier ist stets , also die Zahlenfolge aller ganzen Zahlen . und die zugehörige Zahlenfolge der Partialsummen mit .
Existiert dafür eine Zahl derart, dass für jeden Index stets
gilt, so nennt man diese gegebene Zahlenfolge eine Galileo-Folge.
Historischer Hintergrund Im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen zum freien Fall von Körpern erkannte Galileo Galilei, dass stets
gilt. Das bedeutet nichts weiter, als dass die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen hinsichtlich ihrer Partialsummenfolge für die folgende Gesetzmäßigkeit aufweist: ,
also mit .
Dividiert man diese Gleichung durch , so erkennt man die Gleichwertigkeit zur obigen formalen Beschreibung.
Rekursion Eine streng monoton wachsende Galileo-Folge erhält man zu einer gegebenen Zahl vermöge Rekursion wie folgt:
Startwerte:
und dann rekursiv: für ist die Gaußklammerfunktion. für
Beispiele Für erhält man hier die (schon erwähnte) Folge der ungeraden natürlichen Zahlen. Für erhält man hier die Folge .Bei Tattersall, op. cit., S. 23, fehlen die Einträge 27 und 28. Sie wurden nachträglich ergänzt. Für erhält man hier die Folge .Tattersall, op. cit., S. 35&319
Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Folgen und Reihen