Der Kovarianzoperator bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator, der den Begriff der Kovarianz auf unendlichdimensionale Räume erweitert. Der Begriff wird in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis auf Banach- und Hilberträumen verwendet.
Definition Sei ein lokalkonvexer Raum und der topologische Dualraum. Weiter sei die zylindrische σ-Algebra und ein Wahrscheinlichkeitsmaß darauf, das heißt für jedes wird durch das Bildmaß ein Maß auf definiert.
Kovarianzoperator Der Kovarianzoperator von ist definiert durch
für wobei den Erwartungswert von bezeichnet
Das heißt also ist ein Element des Bidualraums, das heißt ein Funktional auf , und es gilt
Der Operator induziert eine symmetrische Bilinearform durch , welche bilinear und positiv definit ist, genannt Kovarianz.
Erläuterungen Seien und beschränkt. Wenn ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für , dass für alle und ein sowie für ein , somit
für alle . Der Kovarianzoperator ist ein reproduzierbarer Operator und induziert für ein gaußsches Maß einen Cameron-Martin-Raum.
Beispiele Der endliche Fall Rn Sei und , da der Raum reflexiv ist. Dann ist die Kovarianzmatrix.
Gaußsches Maß
Sei ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum , dann ist seine Fourier-Transformierte
Einzelnachweise
Literatur
Kategorie:Stochastik