Die Macdonald-Polynome sind in der Mathematik eine Familie von orthogonalen symmetrischen Polynomen in mehreren Variablen. Sie verallgemeinern eine große Familie von orthogonalen Polynomen wie die Schur-Funktionen, Hall-Littlewood-Polynome und die Askey-Wilson-Polynome.
Sie wurden 1988 von Ian Macdonald eingeführt.
Definition Notation bezeichnet den graduierten Subring der symmetrischen Polynome, wobei die Notation bedeutet, dass die symmetrische Gruppe auf dem Polynomring operiert. bezeichnet den Limes. bezeichnet der Körper der rationalen Funktionen in und . ist der graduierte Ring der symmetrischen Funktionen mit Koeffizienten in ist der graduierte Ring der symmetrischen Polynome mit Unbestimmten und Koeffizienten in . ist eine Partition und die Anzahl der von Null verschiedenen Teile. Wenn aus Teilen gleich und Teilen gleich besteht, dann schreiben wir . bezeichnet die Dominanz-Ordnung für zwei Partitionen, in Formeln: für alle . ist die monomiale symmetrische Funktion
wobei bedeutet, dass eine Permutation der Elemente von ist. Die Menge mit allen Partitionen mit höchstens Teilen bildet eine lineare Basis für . Für allgemeine Wurzelsysteme bezeichnet ein reduziertes Wurzelsystem eines Vektorraumes mit Zerlegung . bezeichnet die Menge der dominanten Gewichte ( sind die Kowurzeln), d. h. die fundamentale Weyl-Kammer.
Einleitung Macdonald-Polynome können auch ohne Lie-Theorie verstanden werden, deshalb steht die Information zu allgemeinen Wurzelsystemen in der Klammer.
Macdonald-Polynome
Sei eine Partition (). Die Macdonald-Polynome (mit Wurzelsystem vom Typ ) lassen sich als Eigenfunktionen eines Operators oder explizit über ein inneres Produkt definieren.
Definition über den Operator
Sei der Shiftoperator , dann sind die Macdonald-Polynome die Eigenfunktionen des Operators
mit Eigenwerten
Definition als explizite Polynome
Sei eine Partition, dann sind die dazugehörigen Macdonald-Polynome die eindeutigen symmetrischen Funktionen, welche folgende zwei Bedingungen erfüllen .
wobei das Skalarprodukt wie folgt definiert ist
wobei das -Analogon des Hall-Skalarproduktes bezeichnet
mit für .
Eigenschaften Dualität
Definiere und den Automorphismus , sei eine Partition und die konjugierte Partition (d. h. im Young-Tableau werden Zeilen mit Spalten vertauscht), dann gilt
oder äquivalent
Beispiele sind die Schur-Funktionen. sind die Hall-Littlewood-Polynome. sind die Jack-Symmetrischen-Funktionen. (monomial-symmetrischen Funktionen). (elementar-symmetrischen Funktionen).
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kombinatorik Kategorie:Polynom Kategorie:Theorie der Polynome