Ein Gruppenschema ist in der algebraischen Geometrie die Verallgemeinerung einer algebraischen Gruppe. Typische Beispiele sind affine algebraische Gruppen oder abelsche Varietäten. Im Unterschied zur klassischen Sichtweise können Gruppenschemata über beliebigen Schemata definiert werden. Solche finden Anwendung in der Theorie von Modulräumen abelscher Varietäten.
Definition
Sei ein Schema und sei die Kommakategorie der Schemata über . Die Objekte von nennen wir -Schemata. Sie hat endliche Produkte. Diese sind durch das Faserprodukt von -Schemata gegeben.
Als Gruppenobjekt
Ein Gruppenschema über (-Gruppenschema) ist ein Gruppenobjekt in .SGA 3.1, I.4
Konkret heißt das:
Ein -Gruppenschema über besteht aus einem -Schema zusammen mit drei Morphismen , Multiplikation , Inklusion des neutralen Elements , Inversion sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: ist assoziativ, das heißt als Morphismen . ist ein zweiseitiges neutrales Element für , das heißt und , wobei (bzw. ) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist. ist ein zweiseitiges inverses Element für , das heißt und . Hier bezeichnet die Diagonale.
Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden.
Als Gruppenwertiger Funktor
Alternativ kann ein -Gruppenschema als darstellbarer Funktor in die Kategorie der Gruppen beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.
Morphismen
Ein Morphismus von Gruppenschemata ist ein Morphismus von -Schemata, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt , und . Tatsächlich folgen die letzten beiden Eigenschaften bereits aus . Die Klasse der -Gruppenschemata bildet zusammen mit Morphismen von -Gruppenschemata wieder eine Kategorie .
Untergruppenschemata
Die folgenden Begriffe sind im Allgemeinen zu unterscheiden.
Ein -Untergruppenschema von ist ein darstellbarer Unterfunktor von .SGA 3, I.1.2 Ein abgeschlossenes -Untergruppenschema von ist ein Morphismus von -Gruppenschemata , der eine abgeschlossene Immersion ist.047D Ein offenes -Untergruppenschema von ist ein Morphismus von -Gruppenschemata , der eine offene Immersion ist.
Eigenschaften
Ist eine Eigenschaft von -Schemata, das heißt eine Teilklasse der Objekte von , die durch eine logische Formel definiert ist, so definiert diese eine Eigenschaft von -Gruppenschemata. Ist ein -Gruppenschema, so sagen wir habe die Eigenschaft , falls das unterliegende -Schema die Eigenschaft hat.047E So erhalten wir beispielsweise die Definitionen von quasikompakt, affin, flach, von endlichem Typ, von endlicher Präsentation, endlich, quasisepariert, separiert, unverzweigt, glatt, étale etc. Ein Gruppenschema ist kommutativ, wenn gilt. Hierbei ist die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von und induziert.
Basiswechsel
Ist ein -Gruppenschema und ein Schemamorphismus, so ist das Faserprodukt auf natürliche Weise ein -Gruppenschema. Ist eine Eigenschaft von relativen Schemata, die stabil unter Basiswechsel ist, so ist die zugehörige Eigenschaft von Gruppenschemata ebenfalls stabil unter Basiswechsel.
Ist endlich, so ist endlich.01WL Ist affin, so ist affin.01SD Ist flach, so ist flach.01U9 Ist (lokal) von endlichem Typ, so ist (lokal) von endlichem Typ.01T4 Ist (quasi-)separiert, so ist (quasi-)separiert.01KU Ist ganz, so ist ganz. ...
Affine Gruppenschemata
Ein affines -Gruppenschema ist ein -Gruppenschema , sodass der Strukturmorphismus affin ist. Aus der Entsprechung von affinen -Schemata und quasi-kohärenten -Algebren über das relative Spektrum ergibt sich eine kontravariante Äquivalenz zwischen den folgenden beiden Kategorien:SGA 3.1, I.4.2 Die Kategorie der affinen -Gruppenschemata. Die Kategorie der quasi-kohärenten Hopf -Algebren.
Ist affin, so ist letztere Kategorie äquivalent zur Kategorie der -Hopf-Algebren.
Beispiele
Jedes Schema besitzt einen eindeutigen Schemamorphismus . Durch Basiswechsel definiert also jedes -Gruppenschema auf eindeutige Weise ein -Gruppenschema .
Die additive Gruppe ist als -Gruppenschema auf -Punkten durch
definiert.SGA 3.1, I.4.3022V Der Funktor wird durch die -Hopf-Algebra mit den Operationen
dargestellt.
Die multiplikative Gruppe ist als -Gruppenschema auf -Punkten durch
definiert.022U Der Funktor wird durch die -Hopf-Algebra mit den Operationen
dargestellt.
Die allgemeine lineare Gruppe für ist als -Gruppenschema auf -Punkten durch
definiert.022W Der Funktor wird durch die Hopf-Algebra mit mit
Eintrag der Inversen von dargestellt.
Die spezielle lineare Gruppe für kann als abgeschlossenes Untergruppenschema von definiert werden. Dazu genügt es ein Hopf-Ideal von aus dem vorigen Beispiel anzugeben. Das Hauptideal ist das gesuchte Hopf-Ideal. Die Hopf-Algebra zu ist also . Alternativ kann definiert werden.
Literatur
Michael Artin, José E. Bertin, Michel Demazure, Pierre Gabriel, Alexander Grothendieck, Michel Raynaud, Jean-Pierre Serre: Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie (SGA 3) Brian Conrad: Reductive group schemes.
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Geometrie