Unter einem Produkt versteht man das Ergebnis einer Multiplikation sowie auch einen Term, der eine Multiplikation darstellt. Die verknüpften Elemente heißen Faktoren.

In diesem Sinne ist die Multiplikation eine Abbildung der Form

wobei man das Produkt von und meist als oder unter Auslassung des Malzeichens als notiert. Sowohl das Ergebnis als auch der Term wird als Produkt von und bezeichnet.

Abgeleitet vom lateinischen Wort producere in der Bedeutung (her-)vorbringen ist „Produkt“ ursprünglich die Bezeichnung des Ergebnisses einer Multiplikation zweier Zahlen (von lat.: multiplicare = vervielfachen).Auftreten in Albertus Magnus’ Metaphysicorum in der Form productum, so Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P) mit Verweis auf The Oxford English Dictionary, Second Edition (abgerufen am 10. Mai 2023.) Der Begriff der Multiplikation geht weit über die Multiplikation von Zahlen hinaus. So treten multiplikative Verknüpfungen in zahlreichen mathematischen Gebieten und Strukturen auf; entsprechend häufig ist von „Produkten“ die Rede.

Produkte zweier Zahlen Hier ist stets , d. h., das Produkt zweier Zahlen ist wieder eine Zahl. Produkte werden hier zusätzlich als assoziativ vorausgesetzt, d. h.:

Produkt zweier natürlicher Zahlen mini|3 mal 4 ergibt 12 Ordnet man etwa Spielsteine in einem rechteckigen Schema in r Reihen zu je s Steinen an, so benötigt man dafür

Spielsteine. Die Multiplikation ist hier eine Kurzschreibweise für die mehrfache Addition von r Summanden (entsprechend den r Reihen), die sämtliche den Wert s tragen (in jeder Reihe stehen s Steine). Man kann die Gesamtzahl aber auch dadurch berechnen, dass man die Zahl s (entsprechend der Anzahl der hintereinander in einer Spalte stehenden Steine) insgesamt r Mal (entsprechend der Anzahl r solcher nebeneinander angeordneter Spalten von Steinen) addiert (man benötigt hierfür r − 1 Pluszeichen). Damit ist bereits die Kommutativität der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen gezeigt.

Zählt man die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen, so bilden diese einen Halbring. Zu einem Ring fehlen die inversen Elemente bzgl. der Addition: Es gibt keine natürliche Zahl x mit der Eigenschaft .

Ein Produkt, bei dem die Zahl 0 als ein Faktor auftritt, hat stets den Wert 0: Eine Anordnung von 0 Reihen von Spielsteinen umfasst unabhängig von der Zahl der Steine pro Reihe keinen einzigen Stein.

Produkt zweier ganzer Zahlen Durch Hinzufügen der negativen ganzen Zahlen erhält man den Ring der ganzen Zahlen. Zwei ganze Zahlen werden multipliziert, indem man ihre jeweiligen Beträge multipliziert und mit folgendem Vorzeichen versieht:

In Worten ausgedrückt besagt diese Tabelle: Minus mal Minus ergibt Plus Minus mal Plus ergibt Minus Plus mal Minus ergibt Minus Plus mal Plus ergibt Plus

Für eine streng formale Definition über Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen vergleiche man den Artikel über ganze Zahlen.

Produkt zweier Brüche In den ganzen Zahlen kann man uneingeschränkt addieren, subtrahieren und multiplizieren. Die Division durch eine von 0 verschiedene Zahl ist nur möglich, falls der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. Diese Einschränkung lässt sich mit dem Übergang zum Körper der rationalen Zahlen, also zur Menge aller Brüche, aufheben. Das Produkt zweier Brüche erfordert im Gegensatz zu ihrer Summe nicht die Bildung eines Hauptnenners:

Gegebenenfalls lässt sich das Ergebnis noch kürzen.

Produkt zweier reeller Zahlen Wie bereits Euklid nachweisen konnte, gibt es keine rationale Zahl, deren Quadrat Zwei ergibt. Ebenso ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser, also die Kreiszahl π, nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar. Beide „Lücken“ werden durch eine sogenannte Vervollständigung im Übergang zum Körper der reellen Zahlen geschlossen. Da eine exakte Definition des Produktes in der hier gebotenen Kürze nicht möglich erscheint, sei nur kurz die Idee skizziert:

Jede reelle Zahl lässt sich als ein unendlicher Dezimalbruch auffassen. So gilt etwa und Die rationalen Näherungswerte – etwa 1,41 und 3,14 – lassen sich problemlos miteinander multiplizieren. Durch sukzessive Erhöhung der Anzahl der Nachkommastellen erhält man – in einem nicht in endlicher Zeit durchführbaren Prozess – eine Folge von Näherungswerten für das Produkt

Produkt zweier komplexer Zahlen Selbst über der Menge der reellen Zahlen gibt es unlösbare Gleichungen wie etwa . Sowohl für negative wie auch für positive Werte von ist das Quadrat auf der linken Seite stets eine positive Zahl. Durch den Übergang zum Körper der komplexen Zahlen, der oft auch als Adjunktion, also Hinzufügen von bezeichnet wird, entsteht aus der reellen Zahlengeraden die sogenannte gaußsche Zahlenebene. Zwei Punkte dieser Ebene, also zwei komplexe Zahlen, werden unter Beachtung von formal multipliziert:

Geometrische Deutung mini|hochkant=1.25|Eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten Eine komplexe Zahl lässt sich auch in ebenen Polarkoordinaten schreiben:

Ist ferner

so gilt aufgrund der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:

Geometrisch bedeutet das: Multiplikation der Längen bei gleichzeitiger Addition der Winkel.

Produkt zweier Quaternionen Selbst die komplexen Zahlen lassen sich noch algebraisch erweitern. Es entsteht ein reell vierdimensionaler Raum, die sogenannten hamiltonschen Quaternionen . Die zugehörigen Multiplikationsregeln werden im Artikel Quaternion ausführlich dargestellt. Im Gegensatz zu den obigen Zahlbereichen ist die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ, d. h., und sind im Allgemeinen verschieden.

Weitere Beispiele für kommutative Ringe

Restklassen ganzer Zahlen Dass das Produkt zweier Zahlen genau dann ungerade ist, wenn beide Faktoren ungerade sind, ist eine weithin bekannte Tatsache. Ähnliche Regeln gelten auch bezüglich der Teilbarkeit durch eine ganze Zahl N größer als 2. Die geraden Zahlen entsprechen hierbei den Vielfachen von N; eine gerade Zahl ist ohne Rest durch Zwei teilbar. Bei den ungeraden Zahlen sollte man unterscheiden, welcher Rest bei der ganzzahligen Division dieser Zahl durch N übrig bleibt. Modulo 3 – so die Sprechweise – gibt es drei Restklassen ganzer Zahlen: Solche, die Vielfache von 3 sind, solche mit Rest 1 und solche mit Rest 2. Das Produkt zweier solcher Zahlen hat stets Rest 1 modulo 3.

Die Menge dieser Restklassen, geschrieben, besitzt genau N Elemente. Ein typisches Element hat die Form und steht für die Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch N denselben Rest ergeben wie die Zahl a. Auf der Menge aller solcher Restklassen wird durch

eine Addition und durch

eine Multiplikation erklärt. Der so entstehende Ring heißt der Restklassenring modulo N. Genau dann, wenn N eine Primzahl ist, handelt es sich hierbei sogar um einen Körper. Beispiel: Modulo 5 ist die Restklasse von 2 invers zu der von 3, da 6 modulo 5 gleich 1 ist. Das systematische Auffinden von multiplikativen Inversen modulo N erfolgt mittels des Euklidischen Algorithmus.

Funktionenringe Ist der Ring R kommutativ, so bildet die Menge (die Menge aller Funktionen von einer Menge M mit Werten in R) ebenfalls einen kommutativen Ring, wenn man Addition und Multiplikation in komponentenweise definiert. Das heißt, wenn man

für alle erklärt.

Wählt man als Ring R die reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation, und als M etwa eine offene Teilmenge von oder allgemeiner von , so sind die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen sinnvoll. Die Menge der stetigen bzw. differenzierbaren Funktionen bildet dann einen Unterring des Funktionenringes, der trivialerweise wieder kommutativ sein muss, wenn bzw. R kommutativ ist.

Faltungsprodukt

mini|hochkant=1.5|Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst ergibt die Dreiecksfunktion Seien zwei integrierbare reelle Funktionen, deren Beträge ein endliches uneigentliches Integral besitzen:

Dann ist das uneigentliche Integral

für jede reelle Zahl t ebenfalls endlich. Die dadurch definierte Funktion heißt das Faltungsprodukt oder die Konvolution von f und g. Dabei ist wieder integrierbar mit endlichem uneigentlichem Betragsintegral. Ferner gilt , d. h., die Faltung ist kommutativ.

Nach Fourier-Transformation ist das Faltungsprodukt bis auf einen konstanten Normierungsfaktor das punktweise definierte Produkt (sog. Faltungstheorem). Das Faltungsprodukt spielt eine wichtige Rolle in der mathematischen Signalverarbeitung.

Die gaußsche Glockenkurve lässt sich dadurch charakterisieren, dass ihre Faltung mit sich selbst wieder eine etwas in die Breite gezogene Glockenkurve ergibt (vgl. hier). Genau diese Eigenschaft liegt dem zentralen Grenzwertsatz zugrunde.

Polynomringe Die Menge aller Polynome in der Variablen X mit reellen Koeffizienten bildet einen sogenannten Polynomring. Das Produkt wird hierbei wie folgt berechnet:

mit

Diese Ringe spielen in vielen Bereichen der Algebra eine große Rolle. So lässt sich etwa der Körper der komplexen Zahlen formal elegant als Faktorring definieren.

Beim Übergang von endlichen Summen zu absolut konvergenten Reihen bzw. formalen Potenzreihen wird aus dem hier besprochenen Produkt das sog. Cauchy-Produkt.

Produkte in der linearen Algebra Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen solchen. In diesem Zusammenhang treten verschiedenartige Produkte auf. Im Folgenden wird zur Vereinfachung als Grundkörper zumeist der Körper der reellen Zahlen verwendet.

Skalares Produkt Bereits in der Definition eines Vektorraums V taucht der Begriff der Skalarmultiplikation auf. Damit lassen sich Vektoren ganz allgemein um einen reellen Faktor „strecken“, wobei im Falle der Multiplikation mit einem negativen Skalar auch noch die Richtung des Vektors umgedreht wird.

Das skalare Produkt ist eine Abbildung .

Skalarprodukt Davon strikt zu unterscheiden ist der Begriff eines Skalarprodukts. Dabei handelt es sich um eine bilineare Abbildung

mit der zusätzlichen Forderung, dass für alle ist.

Daher ist der Ausdruck stets berechenbar und liefert den Begriff der Norm (Länge) eines Vektors.

Ebenso gestattet das Skalarprodukt die Definition eines Winkels zwischen zwei Vektoren :

Die Polarisationsformel zeigt, dass ein solcher Längenbegriff umgekehrt stets zu einem Skalarprodukt und somit auch zu einem Winkelbegriff führt.

In jedem -dimensionalen Euklidischen Raum lässt sich durch Orthonormalisierung ein Orthonormalsystem finden. Stellt man alle Vektoren als Linearkombination bezüglich einer Orthonormalbasis dar, so lässt sich das Skalarprodukt zweier solcher Koordinatentupel als Standardskalarprodukt berechnen:

Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum Im , als dem Standardmodell eines 3-dimensionalen Euklidischen Raums, lässt sich ein weiteres Produkt, das sogenannte Kreuzprodukt definieren. Es leistet hervorragende Dienste bei diversen Problemen der analytischen Geometrie im Raum.

Beim Kreuzprodukt handelt es sich um eine Abbildung

Wie jedes Lie-Produkt ist es antikommutativ: Insbesondere ist .

Spatprodukt Beim sogenannten Spatprodukt – ebenfalls nur im erklärt – handelt es sich nicht um ein Produkt zweier, sondern dreier Vektoren. In moderner Sprechweise stimmt es mit der Determinante von drei nebeneinander geschriebenen Spaltenvektoren überein und lässt sich wohl am einfachsten nach der Regel von Sarrus berechnen. Formal liegt eine Abbildung

vor, die wohl nur aus historischen Gründen noch heute als ein Produkt bezeichnet wird. Anschaulich misst das Spatprodukt das Volumen eines Spates im Raum.

Komposition linearer Abbildungen Sind und zwei lineare Abbildungen, so ist ihre Hintereinanderausführung („g nach f“)

linear. Bezeichnet man die Menge aller linearen Abbildungen von U nach V mit , so liefert die Komposition von Abbildungen ein Produkt

Im Spezialfall erhält man so den sogenannten Endomorphismenring von V.

Produkt zweier Matrizen