Als BIO-LGCA (, biologische Gittergasautomaten) bezeichnet man in der mathematischen Biologie eine Art diskreter mathematischer Modelle zur Darstellung beweglicher, interagierender biologischer Agenten. Sie wurden aus den Gittergasautomaten (lattice-gas cellular automata, [LGCA]) der Fluiddynamik abgeleitet und stellen somit eine Unterart der zellulären Automaten (cellular automata, CA) dar. Ein BIO-LGCA-Modell beschreibt Zellen und andere frei bewegliche biologische Agenten als Punktpartikel, die sich auf einem räumlich diskreten Gitter fortbewegen und dabei mit anderen Partikeln in ihrer Umgebung interagieren. Im Gegensatz zu klassischen zellulären Automaten definieren BIO-LGCA die Partikel nicht nur durch ihre Position, sondern auch durch ihre Geschwindigkeit. Dadurch lassen sich Prozesse modellieren und analysieren, die hauptsächlich durch Änderungen des Impulses statt durch Änderungen der Dichte getrieben werden, wie aktive Fluide oder kollektive (Zell-)Migration. Anwendungen dieser Modellklasse finden sich z. B. in der Entschlüsselung der Dynamik von Krebsgeschwülsten.
Modelldefinition
Wie alle zellulären Automaten werden BIO-LGCA durch ein räumliches Gitter (engl. lattice), einen Zustandsraum , eine Nachbarschaft und eine Zustandsübergangsregel definiert:
Das Gitter () bestimmt die Menge aller möglichen (endlichen) Raumpositionen, die Partikel einnehmen können. Diese Punkte werden üblicherweise aus einer regulären und periodischen Pflasterung des Raums gewonnen. Mathematisch betrachtet ist eine diskrete Teilmenge des -dimensionalen Raums. Ein Gitterplatz wird auch Knoten genannt. Der Zustandsraum () beschreibt die mögliche Konfiguration von Partikeln innerhalb jedes Gitterplatzes . Während sich in klassischen zellulären Automaten typischerweise nur ein Partikel gleichzeitig in einem Knoten befinden darf, erlauben BIO-LGCA mehrere Partikel mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten an einem Gitterplatz. Dadurch ist der Zustandsraum etwas komplexer als in klassischen CA (siehe unten). Die Nachbarschaft () umfasst die Gitterplätze in der Umgebung eines Knotens , deren Zustand die Dynamik dieses Knotens bestimmt. Partikel können nur mit anderen Partikeln innerhalb dieser Nachbarschaft interagieren. Für die Nachbarschaft von Knoten am Rand endlicher Gitter müssen Randbedingungen definiert werden. Mögliche Nachbarschaften und Randbedingungen entsprechen denen für klassische zelluläre Automaten. Die Zustandsübergangsregel () legt das Verhalten der Partikel fest, d. h. wie sie sich über den Zeitverlauf fortbewegen, sich fortpflanzen oder sterben. Die Zeit in BIO-LGCA ist diskret. Um die Systemdynamik zu simulieren, wird die Regel in jedem Zeitschritt synchron auf alle Gitterplätze angewandt. Durch die Anwendung der Regel ändert sich der Originalzustand eines Gitterknotens zu einem neuen Zustand. Dieser hängt vom Zustand der Gitterplätze in der Nachbarschaft des betrachteten Knotens ab. Die Regel ist in BIO-LGCA in zwei Schritte aufgeteilt: probabilistische Interaktion und deterministischer Transport. Der Interaktionsschritt kann Neuausrichtung, Fortpflanzung und Tod beschreiben und wird für den modellierten biologischen Prozess spezifisch entworfen. Der Transportschritt befördert Partikel entsprechend ihrer Geschwindigkeit zu benachbarten Gitterplätzen. Dies wird unten näher ausgeführt.
Zustandsraum
mini|Struktur eines BIO-LGCA-Gitterknotens mit sechs Geschwindigkeitskanälen (entsprechend den sechs Nachbarn in einem zweidimensionalen hexagonalen Gitter) und einem Ruhekanal. In diesem Fall sind , und die Kapazität . Die Kanäle 2, 3, 6 und 7 sind besetzt. Dadurch ergibt sich die Knotenkonfiguration zu und die Anzahl der Partikel ist . Um die Geschwindigkeit von Partikeln explizit zu modellieren, haben Gitterplätze eine besondere Struktur. Jeder Knoten ist durch Vektoren mit den benachbarten Knoten verbunden, sog. „Geschwindigkeitskanäle“ , . Die Anzahl der Geschwindigkeitskanäle entspricht der Anzahl der benachbarten Gitterplätze und hängt daher von der Gittergeometrie ab ( für ein eindimensionales Gitter, für ein zweidimensionales hexagonales Gitter etc.). Im zweidimensionalen Fall werden die Geschwindigkeitskanäle als definiert. Zusätzlich können beliebig viele Ruhekanäle festgelegt werden, die die Geschwindigkeit haben, wobei . Ein Kanal gilt als besetzt, wenn die Geschwindigkeit eines Partikels im entsprechenden Gitterplatz der Geschwindigkeit dieses Kanals entspricht. Die Besetzung eines Kanals wird durch die Besetzungszahl angezeigt. Typischerweise wahren die Partikel dabei das Ausschließungsprinzip: Nur ein Partikel kann sich zu einem gegebenen Zeitpunkt in einem Kanal an einer Gitterposition befinden, . Ist das Prinzip gewahrt, sind die Besetzungszahlen Boolesche Variablen, d. h. , und jeder Knoten hat eine maximale Kapazität . Da die Besetzungszahlen aller Kanäle die Anzahl der im Knoten befindlichen Partikel und ihre Geschwindigkeiten erfassen, beschreibt der Vektor vollständig den Zustand eines Gitterplatzes. Damit ergibt sich der Zustandsraum für einen Gitterplatz zu .
Regel und Dynamik des Modells
Die Zustände der Gitterplätze werden in jedem diskreten Zeitschritt entsprechend der Regel synchron aktualisiert, um die Dynamik des Modells zu simulieren. Die Zustandsübergangsregel besteht aus zwei Teilen: Im probabilistischen Interaktionsschritt treten die Partikel miteinander in Wechselwirkung, während der deterministische Transportschritt für ihre Fortbewegung verantwortlich ist.
Interaktionsschritt
Abhängig von der Anwendung kann der Interaktionsschritt aus Reaktions- und/oder Neuausrichtungsoperatoren bestehen.
Der Reaktionsoperator überführt den Zustand eines Gitterknotens gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit in einen neuen Zustand . Die Wahrscheinlichkeit hängt vom Zustand der benachbarten Gitterplätze ab, um den Einfluss umgebender Partikel auf den Reaktionsprozess einzubeziehen. Mit dem Reaktionsoperator lassen sich Geburt und Tod von Agenten darstellen, da die Anzahl der Partikel im Knoten nicht erhalten werden muss. Die Formel für die Übergangswahrscheinlichkeit wird üblicherweise ad hoc aus phänomenologischen Betrachtungen heraus definiert.
Der Operator für die Neuausrichtung aktualisiert einen Zustand ebenfalls anhand einer Wahrscheinlichkeit zu einem neuen Zustand . Hier besteht allerdings die Einschränkung, die Zahl der Partikel konstant zu halten. Daher modelliert dieser Operator durch die Umverteilung existierender Partikel in den Geschwindigkeitskanälen nur Änderungen in der Geschwindigkeit. Dies entspricht einer Richtungsänderung der einzelnen Agenten. Die Übergangswahrscheinlichkeit für den Operator kann aus statistischen Beobachtungen (durch Anwendung des Prinzips des maximalen Kalibers) oder aus der Dynamik einzelner Teilchen gewonnen werden. In letzterem Fall wird die diskretisierte stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung der Winkel genutzt, die durch die Fokker-Planck-Gleichung entsprechend der Langevin-Gleichung für die Dynamik der Neuorientierung gegeben ist. Die Übergangswahrscheinlichkeit nimmt typischerweise folgende Form an:
ist eine Normierungskonstante, in der statistischen Physik auch kanonische Zustandssumme. ist ein freier Parameter, der analog zur inversen Temperatur in der statistischen Thermodynamik umgekehrt proportional zur Zufälligkeit der Partikelneuorientierung ist. Die Funktion nimmt eine Rolle ähnlich einer Energie ein: Durch ihre Neuausrichtung werden Partikel tendenziell minimieren. Das Kronecker-Delta schließt alle Zustandsübergänge aus, bei denen die Anzahl der Partikel vor und nach der Anwendung des Operators (, ) nicht gleich ist.
Der Zustand eines Gitterknotens nach Anwendung des Reaktions- und des Neuausrichtungsoperators wird Postinteraktions-Konfiguration genannt und als notiert.
zentriert|mini|888x888px|Dynamik eines BIO-LGCA-Modells. Jeder Zeitschritt besteht aus den zwei Prozessen Interaktion (interaction) und Transport (migration), die an allen Gitterplätzen gleichzeitig erfolgen. Im Interaktionsschritt werden die Besetzungszahlen, d. h. die Zustände der Gitterplätze, durch den Reaktions- und/oder Neuausrichtungsoperator stochastisch aktualisiert. Im Beispiel wird eine partikelkonservierende Regel angenommen (nur Richtungsänderung, kein Reaktionsoperator). Anschließend, im Transportschritt, werden die Partikel deterministisch zum Geschwindigkeitskanal der gleichen Richtung im entsprechenden benachbarten Knoten bewegt. Die Farben in der Skizze zeigen, in welchem Knoten sich die Partikel am Anfang des Zeitschritts befunden haben, um den Transport zu verdeutlichen.
Transportschritt
Nach dem Interaktionsschritt wird der deterministische Transportschritt synchron auf alle Gitterplätze angewandt. Er simuliert die Bewegung von Agenten entsprechend ihrer Geschwindigkeit und repräsentiert damit den Eigenantrieb lebender Organismen oder Zellen. Formal bestimmt die Besetzungskonfiguration der Geschwindigkeitskanäle nach dem Interaktionsschritt die neue Besetzung der Geschwindigkeitskanäle mit der gleichen Richtung in den benachbarten Gitterplätzen, d. h. , vgl. auch die Abbildung.
Wenn Interaktion und Transport abgeschlossen sind, beginnt ein neuer Zeitschritt. Zusammengefasst kann die Dynamik des BIO-LGCA als stochastische mikrodynamische Rekursionsbeziehung formuliert werden:
Beispiele für Interaktionen
mini|BIO-LGCA-Modell polarer Schwarmbildung. In diesem Modell richten Zellen ihre Geschwindigkeit vorzugsweise parallel zum Impuls in ihrer Nachbarschaft aus. Die Farbe der Gitterknoten wird durch die Orientierung der enthaltenen Partikel und deren Übersetzung in den Farbkreis bestimmt. Leere Knoten sind weiß. Die Simulation wurde auf einem hexagonalen Gitter mit periodischen Randbedingungen durchgeführt. Die Übergangswahrscheinlichkeit für den Reaktions- und/oder Neuausrichtungsoperator ist der Schlüssel, um das Verhalten eines modellierten Systems angemessen abzubilden. Einige elementare Interaktionen und ihre entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten sind hier aufgeführt.
Random Walk
Wenn keine externen oder internen Stimuli vorliegen, können sich Zellen zufällig ohne eine bevorzugte Richtung bewegen (Random Walk). In diesem Fall kann der Neuausrichtungsoperator mit der Übergangswahrscheinlichkeit
realisiert werden, wobei . Diese Übergangsregel erlaubt als Ergebnis der Richtungsänderung mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Konfiguration , die die gleiche Anzahl von Partikeln aufweist wie die Konfiguration vor der Anwendung des Operators. mini|382x382px|BIO-LGCA-Modell für erregbare Medien. In diesem Modell fördert der Reaktionsoperator eine schnelle Reproduktion von Partikeln in Geschwindigkeitskanälen, während sie in Ruhekanälen langsam sterben. Partikel in Ruhekanälen hemmen dabei die Fortpflanzung in den Geschwindigkeitskanälen. Die Neuausrichtung erfolgt nach dem Random Walk-Operator im Text. Gitterzellen sind nach der Anzahl der beweglichen Partikel farbcodiert: Je mehr Partikel sich in Geschwindigkeitskanälen aufhalten, desto heller ist die Stelle gefärbt. Ruhende Partikel werden nicht gezeigt. Die Simulation wurde auf einem hexagonalen Gitter mit periodischen Randbedingungen durchgeführt.
Einfacher Geburts- und Todesprozess
Wenn Organismen sich unabhängig von anderen Individuen fortpflanzen und sterben (mit Ausnahme der begrenzten Kapazität ihrer Umgebung), kann mit der Übergangswahrscheinlichkeit
ein einfacher Geburts- und Todesprozess modelliert werden. , sind konstante Geburts- und Sterbewahrscheinlichkeiten. Das Kronecker-Delta stellt sicher, dass in jedem Zeitschritt nur ein Geburts- bzw. Todesprozess stattfindet, während die Heaviside-Funktion die Partikelanzahl auf positive Werte kleiner oder gleich der Kapazität begrenzt.
Adhäsive Wechselwirkungen