Eine Relation ( „Beziehung“, „Verhältnis“) ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Bei Relationen im Sinne der Mathematik ist stets klar, ob sie bestehen oder nicht, sodass Objekte nicht „bis zu einem gewissen Grade“ in einer Relation zueinander stehen. Damit ist eine einfache mengentheoretische Definition des Begriffs möglich: Eine Relation ist eine Menge von -Tupeln. In der Relation zueinander stehende Dinge bilden -Tupel, die Element von sind.
Wird nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben, versteht man unter einer Relation gemeinhin eine zweistellige oder binäre Relation. Bei einer solchen Beziehung bilden dann jeweils zwei Elemente und ein geordnetes Paar Stammen dabei und aus verschiedenen Grundmengen und , so heißt die Relation heterogen oder „Relation zwischen den Mengen und Stimmen die Grundmengen überein dann heißt die Relation homogen oder „Relation in bzw. auf der Menge
Wichtige Spezialfälle, zum Beispiel Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen, sind Relationen auf einer Menge.
Heute beschränken manche Autoren den Begriff Relation nicht unbedingt auf Mengen, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse als Relation gelten.
Definitionen Zweistellige Relation Eine zweistellige Relation (auch binäre Relation genannt) zwischen zwei Mengen und ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts .
Die Menge wird als Quellmenge der Relation bezeichnet, die Menge als Zielmenge.Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Bibliographisches Institut Leipzig, 1979, S. 484. Gilt für zwei Elemente und , so schreibt man auch kurz und sagt: „ steht in Relation zu .“
Manchmal ist diese Definition jedoch nicht präzise genug und man bezieht die Quell- und Zielmenge in die Definition mit ein, obige Teilmenge wird dann der Graph der Relation genannt. Eine zweistellige Relation ist dann definiert als Tripel mit . Die Kenntnis von Quelle und Zielmenge ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn man Funktionen als spezielle (sogenannte funktionale) Relationen betrachtet.
Als Urbild-, Argument-, Definitions- oder VorbereichAlbert Monjallon: Einführung in die moderne Mathematik. Ausgabe 2. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-663-16043-4, S. 74. doi:10.1007/978-3-663-16043-4, (books.google.de)Wilhelm Dangelmaier: Produktionstheorie 1: Methodische Grundlagen. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-54922-3, S. 478. doi:10.1007/978-3-662-54923-0 (books.google.de) einer gegebenen zweistelligen Relation wird der kleinstmögliche Vorbereich zum Graphen verstanden, dessen Elemente alle in den geordneten Paaren von tatsächlich auf der linken Seite auftreten, in Zeichen .Dieter Klaua: Mengenlehre. Seite 62, Definition 5 (1. Teil).H. König: Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen für Fertigungseinrichtungen. Seite 19.Weitere Bezeichnungsweisen: , in der englischsprachigen Literatur: , siehe:Gerard O’Regan: Sets, Relations and Functions. S. 36. Der Wertevorrat, Werte- oder Bild- oder Nachbereich bezeichnet in diesem Sinne den kleinsten Nachbereich zu bei gegebenem , dessen Elemente also alle in den Paaren von auf der rechten Seite auftreten, in Zeichen .Dieter Klaua: Mengenlehre. Seite 62, Definition 5, (2. Teil).Weitere Bezeichnungsweisen: , in der englischsprachigen Literatur: , siehe: Gerard O’Regan: Sets, Relations and Functions. S. 36. Gelegentlich wird für die Vereinigungsmenge die Bezeichnung Feld (oder Knotenmenge) benutzt, in Zeichen .Dieter Klaua: Mengenlehre. Seite 62, Definition 5, (3. Teil).
Darüber hinaus finden sich folgende Bezeichnungen: Domäne entweder für die (im Prinzip beliebig große) Quellmenge oder für die (durch den Graphen festgelegte) Urbildmenge (Definitionsbereich), Co-Domäne entweder für die Zielmenge oder für die Bildmenge,In der Theorie algebraischer Strukturen benutzt man – besonders im Hinblick auf die Kategorientheorie die Begriffe domain und codomain meist im Sinn von Quell- und Zielmenge, während in einführenden Schriften zur Mengenlehre diese meist als Urbild- und Bildmenge definiert werden. Knotenmenge () für das FeldG. Smolka: Programmierung: Kapitel 2 – Mengenlehre, bei: Universität des Saarlandes, 20. Mai 2003, § 2.5. Binäre Relationen, S. 15. einer Relation.
Stimmen zwei Relationen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich.Beispiel: Jede Relation ist im Wesentlichen gleich mit und mit der homogenen Relation .
n-stellige Relation Allgemeiner ist eine -stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von Mengen : mit . Dabei bezeichnet die endliche Folge der Mengen, und das kartesische Produkt.
Die ausführlichere Definition lässt sich auch auf -stellige Relationen verallgemeinern und man erhält dann das -Tupel mit .
Die Mengen heißen Trägermengen der Relation mit den minimalen Trägermengen zum Graphen , nämlich .
Das Feld einer -stelligen Relation ist gegeben durch .
Wesentliche Gleichheit ist analog definiert wie für zweistellige Relationen durch Übereinstimmung der Graphen, insbesondere ist jede -stellige Relation im Wesentlichen gleich mit und mit der homogenen Relation .
Einstellige und nullstellige Relation Eine einstellige Relation auf einer Menge ist somit einfach eine Teilmenge , in der ausführlichen Definition mit .
Die nullstelligen Relationen sind demnach die Teilmengen des leeren kartesischen Produkts bzw. , also und , ausführlich und .
Relationen zwischen oder auf echten Klassen Häufig sind die Trägerbereiche einer Relation keine Mengen, sondern echte Klassen, man spricht dann von Klassenrelationen. Gelegentlich kann man mengentheoretische Probleme, die sich daraus ergeben, vermeiden, indem man nur noch den Graph der entsprechenden Relation betrachtet. Die (minimalen) Trägermengen (, im zweistelligen Fall Definitions- und Wertemenge ) sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf Quellmenge, Zielmenge, … () festzulegen, wenn die Relationen im Wesentlichen gleich sind. Nicht immer ist das möglich, beispielsweise für die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit, siehe auch: Kardinalzahlen §Definition. Gleichheit von Relationen im Wesentlichen ist ein weiteres Beispiel.
Eine zweistellige Klassenrelation mit Quellklasse und Zielklasse heißt vorgängerklein,auch mengenähnlich, mengenartig, auf engl.: left-narrow bzw. set-like genannt, siehe Wikibooks: Mathematik-Glossar: Mathematische Attribute: vorgängerkleinHeike Mildenberger 2015, S. 59f. wenn für alle die Klasse der Vorgänger (Urbildfaser von , s. u.) eine Menge (d. h. keine echte Klasse) ist.Martin Ziegler: Vorlesung über Mengenlehre, Universität Freiburg, 1992–2014, S. 12. Die Relation heißt englisch right-narrow (deutsch in etwa nachfolgerklein),Azriel Levy: Basic Set Theory (= Dover Books on Mathematics. Band 13). Courier Corporation, Newburyport 2012, ISBN 978-0-486-15073-4, S. 22, (online) wenn für alle die Klasse der Nachfolger (Bildfaser von ) eine Menge ist. Im Fall der Rechtseindeutigkeit (partielle Abbildungen, Abbildungen, s. u.) ist eine Klassenrelation stets klein, da es zu jedem Urbild (genau oder höchstens) einen Bildwert gibt, die Klasse der Nachfolger also eine Einermenge (oder die Leermenge) ist. Jede injektive Klassenabbildung ist beides, klein und vorgängerklein. Die Enthaltenseinsrelation ist für jede Klasse vorgängerklein, da die keine echten Klassen sein können, sondern Mengen sind und damit ebenfalls eine Menge ist.Falls Urelemente zugelassen sind: für Urelemente ist , ebenfalls eine Menge.Siehe auch: Axiomatic Set Theory, Getting a model of (ZF – Fnd) ∪ { ¬Fnd} from a model of ZF, Ben Gurion University (BGU) of the Negev, The Department of Mathematics, 2003. Die Begriffe Vorgänger und Nachfolger selbst werden üblicherweise im Kontext von Ordnungsrelationen verwendet, siehe Ordnungsrelation §Vorgänger und Nachfolger.
Erläuterungen und Schreibweisen Das kartesische Produkt zweier Mengen und ist die Menge aller geordneten Paare von wobei irgendein Element aus der Menge und eines aus darstellt. Bei dem geordneten Paar ist die Reihenfolge wichtig, d. h., unterscheidet sich von im Gegensatz zum ungeordneten Paar das identisch ist mit Für schreibt man auch , um zu verdeutlichen, dass jene Beziehung zwischen den Objekten besteht (wie in ). Die Leermenge als Teilmenge des kartesischen Mengenprodukts als Relation aufgefasst heißt Nullrelation , das volle Produkt heißt Allrelation (auch Universalrelation) (auch als bezeichnet).Im allgemeinen Fall mit der Trägermengensequenz ist die Allrelation , im homogenen Fall mit der n-fachen Trägermenge ist .
Relationen und Funktionen Eine Funktion ist eine spezielle, nämlich eine linkstotale und rechtseindeutige (zweistellige) Relation, Näheres siehe unten. Eine Multifunktion ist eine linkstotale Relation . Eine partielle Funktion ist eine (im Allgemeinen nicht linkstotale) rechtseindeutige Relation . In allen Fällen ist (beziehungsweise wenn die ausführliche Definition zugrunde gelegt wird).
Für Funktionen und Multifunktionen gilt: Bei der ausführlicheren Definition kann, weil durch eindeutig bestimmt ist (linkstotal), auch weggelassen und einfacher genommen werden.
Für Funktionen und partielle Funktionen gilt: Für bzw. wird auch (englisch: maplet) oder geschrieben.
Allgemein gilt: Die nullstelligen Relationen (als nullstellige Nullrelation) und (als nullstellige Vollrelation) haben als charakteristische Funktionen die booleschen oder logischen Konstanten und , wie immer für Nullrelation und Allrelation.Stefan Brass (2005), S. 19. Der Fall einstelliger Relationen ist trivial. Eine Relation (bzw. ) entspricht auf eindeutige Weise einer Wahrheitsfunktion . Diese Funktion ist auch als Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Teilmenge (bzw. ) bekannt, wobei durch ersetzbar ist. Eine -stellige Relation (bzw. ) entspricht der charakteristischen Funktion
Es gilt: . . . .Die charakteristische Funktion als Wahrheitsfunktion entspricht daher einem logischen Prädikat, und in der Modelltheorie nennt man die Relationssymbole deswegen auch Prädikatsymbole, siehe Stefan Brass (2005) S. 16. Eine Relation lässt sich auch als eine Abbildung von in die Potenzmenge von auffassen, man spricht dann oft von einer Korrespondenz und für von einer Transitionsrelation.
Verkettung von Relationen Für zwei Relationen und ist die Verkettung oder Nacheinanderausführung (auch als geschrieben, lies „S nach R“) definiert als
. Die Verkettung zweier Relationen ist selbst eine Relation und wird auch als relatives Produkt bezeichnet.
Beispiel: Die Relation „Schwägerin sein von“ ist die Vereinigungsmenge des relativen Produktes der Relation „Bruder sein von“ und der Relation „Ehefrau sein von“ und des relativen Produktes der Relation „Ehepartner(in) sein von“ und der Relation „Schwester sein von“.
Umkehrrelation Die Umkehrrelation (auch konverse Relation, Konverse oder inverse Relation genannt) ist für eine zweistellige Relation definiert als .Glossary of Z notation. Relations. In: staff.washington.edu. University of Washington, abgerufen am 3. August 2025. Gelegentlich findet sich hierfür auch die Bezeichnung transponierte Relation, in Zeichen .Relationsalgebra. In: Mathepedia.de. Abgerufen am 3. August 2025.
Beispiel 1: Die Umkehrrelation der Relation „ist Nachkomme von“ ist die Relation „ist Vorfahre von“. Beispiel 2: Die Umkehrrelation der Relation „ist kleiner als“ ist die Relation „ist größer als“. Beispiel 3: Die Umkehrrelation der Relation „liefert an“ ist die Relation „wird beliefert von“.
Die Verallgemeinerung der Umkehrrelation (Konverse) auf -stellige Relationen ist die Permutation der Koordinaten der in ihr enthaltenen -Tupel, speziell die Vertauschungen von lediglich 2 Koordinaten (Transpositionen) und die Umkehrung der Reihenfolge (Spiegelung), beides Beispiele (zyklischer) selbstinverser Permutationen.