Die Mittag-Leffler-Funktion ist eine nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannte mathematische Funktion, die in den Lösungen von bestimmten fraktionalen Integralgleichungen auftaucht (z. B. bei der Untersuchung von Zufallsbewegungen oder Lévy-Flügen).
Definition Die Mittag-Leffler-Funktion ist gegeben durch
,
wobei die Gammafunktion ist. Die Reihe konvergiert für alle mit positivem Realteil. Im Spezialfall ergibt sich die Exponentialfunktion.
Die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion beschreibt eine Interpolation zwischen exponentiellem und polynomialen Verhalten und ist gegeben durch
.
Spezialfälle dieser Funktion sind
Gaußsche Fehlerfunktion:
Hyperbelsinus:
Eigenschaften Für ein und beliebiges ist die Mittag-Leffler-Funktion eine ganze Funktion der Ordnung und Typ . In einen gewissen Sinne ist die Mittag-Leffler-Funktion die einfachste ganze Funktion seiner Ordnung. Die Indikator-Funktion von ist: Das Ergebnis hält für und mit einigen Einschränkungen auf mit .
Die Mittag-Leffler-Funktion erfüllt die Rekursionsgleichung
,
für welche folgende asymptotische Erweiterung gilt: für und ein reelles so dass gilt für folgende asymptotische Erweiterung (Sektion 6. von ):
für :
,
und für :
.
Eine einfachere Abschätzung die oft hilfreich ist, ist dank den Fakt, dass die Ordnung und Typ hat, gegeben durch:
für beliebige und jedes .
Literatur M.G. Mittag-Leffler: Sur la nouvelle fonction E_alpha(x). In: Comptes Rendus de l'Académie des sciences 137/1903, S. 554–558. R.K. Saxena, A.M. Mathai, H.J. Haubold: On Fractional Kinetic Equations. In: Astrophysics & Space Science 282/2002, S. 281–287 (), (PDF-Version).
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Funktion