Ein Axiom (von „Forderung; Wille; Beschluss; Grundsatz; philos[ophisch]. […] Satz, der keines Beweises bedarf“,Menge, Hermann: Langenscheidts Großwörterbuch Griechisch Deutsch, Berlin, 1979 (23. Auflage) „Wertschätzung, Urteil, als wahr angenommener Grundsatz“) ist ein Grundsatz einer Theorie, einer Wissenschaft oder eines axiomatischen Systems, der innerhalb dieses Systems weder begründet noch deduktiv abgeleitet, sondern als Grundlage willentlich akzeptiert oder gesetzt wird.
Abgrenzungen Innerhalb einer formalisierbaren Theorie ist eine These ein Satz, der bewiesen werden soll.These. In: Regenbogen, Meyer: Wörterbuch der philosophischen Begriffe. 2005. Ein Axiom dagegen ist ein Satz, der nicht in der Theorie bewiesen werden soll, sondern beweislos vorausgesetzt wird. Wenn die gewählten Axiome der Theorie logisch unabhängig sind, so kann keines von ihnen aus den anderen hergeleitet werden. Im Rahmen eines formalen Kalküls sind die Axiome dieses Kalküls immer ableitbar. Dabei handelt es sich im formalen oder syntaktischen Sinne um einen Beweis; semantisch betrachtet handelt es sich um einen Zirkelschluss. Ansonsten gilt: „Geht eine Ableitung von den Axiomen eines Kalküls bzw. von wahren Aussagen aus, so spricht man von einem Beweis.“Ableitung. In: Regenbogen, Meyer: Wörterbuch der philosophischen Begriffe. 2005.
Axiom wird als Gegenbegriff zu Theorem (im engeren Sinn) verwendet.So bei Tarski: Einführung in die mathematische Logik. 5. Auflage. (1977), S. 127. Theoreme wie Axiome sind Sätze eines formalisierten Kalküls, die durch Ableitungsbeziehungen verbunden sind. Theoreme sind also Sätze, die durch formale Beweisgänge von Axiomen abgeleitet werden.Vgl. Carnap: Einführung in die symbolische Logik. 3. Auflage. (1968), S. 172. Mitunter werden die Ausdrücke These und Theorem jedoch im weiteren Sinn für alle gültigen Sätze eines formalen Systems verwendet, d. h. als Oberbegriff, der sowohl Axiome als auch Theoreme im ursprünglichen Sinn umfasst.So z. B. Paul Ruppen: Einstieg in die formale Logik. Ein Lern- und Übungsbuch für Nichtmathematiker. Peter Lang, Bern 1996, S. 125.
Axiome können somit als Bedingungen der vollständigen Theorie verstanden werden, insofern diese in einem formalisierten Kalkül ausdrückbar sind. Innerhalb einer interpretierten formalen Sprache können verschiedene Theorien durch die Auswahl der Axiome unterschieden werden. Bei nicht-interpretierten Kalkülen der formalen Logik spricht man statt von Theorien allerdings von logischen Systemen, die durch Axiome und Schlussregeln vollständig bestimmt sind. Dies relativiert den Begriff der Ableitbarkeit oder Beweisbarkeit: Sie besteht immer nur in Bezug auf ein gegebenes System.Bochenski: Die zeitgenössischen Denkmethoden. 10. Aufl. (1993), S. 79. Die Axiome und die abgeleiteten Aussagen gehören zur Objektsprache, die Regeln zur Metasprache.
Ein Kalkül ist jedoch nicht notwendigerweise ein Axiomatischer Kalkül, der also „aus einer Menge von Axiomen und einer möglichst kleinen Menge von Schlussregeln“ besteht.Bußmann: Lexikon der Sprachwissenschaft. 3. Aufl., 2002, Kalkül. Daneben gibt es auch Beweis-Kalküle und Tableau-Kalküle.
Immanuel Kant bezeichnet Axiome als „synthetische Grundsätze a priori, sofern sie unmittelbar gewiß sind“ und schließt sie durch diese Definition aus dem Bereich der Philosophie aus. Diese nämlich gründe sich auf Begriffe, die als abstrakte Vorstellungsbilder niemals als Gegenstand unmittelbarer Anschauung (Evidenz) besitzen. Daher grenzt er die diskursiven Grundsätze der Philosophie von den intuitiven der Mathematik ab: Erstere müssten sich „bequemen, ihre Befugniß wegen derselben durch gründliche Deduction zu rechtfertigen“ und erfüllen daher nicht die Kriterien eines a priori.
Unterscheidungen Der Ausdruck Axiom wird in drei Grundbedeutungen verwendet. Er bezeichnet einen unmittelbar einleuchtenden Grundsatz – den klassischen (materialen) Axiombegriff, ein Naturgesetz, das als Prinzip für empirisch gut bestätigte Regeln postuliert werden kann – den naturwissenschaftlichen (physikalischen) Axiombegriff, einen Ausgangssatz, der in einem Kalkül einer formalen Sprache als gültig vorausgesetzt wird – den modernen (formalen) Axiombegriff.
Klassischer Axiombegriff Der klassische Axiombegriff wird auf die Elemente der Geometrie des Euklid und die Analytica posteriora des Aristoteles zurückgeführt. Axiom bezeichnet in dieser Auffassung ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip bzw. eine Bezugnahme auf ein solches. Ein Axiom in diesem essentialistischen Sinne bedarf aufgrund seiner Evidenz keines Beweises. Axiome wurden dabei angesehen als unbedingt wahre Sätze über existierende Gegenstände, die diesen Sätzen als objektive Realitäten gegenüberstehen. Diese Bedeutung war bis in das 19. Jahrhundert hinein vorherrschend.
Am Ende des 19. Jahrhunderts erfolgte eine „Abnabelung der Geometrie von der Wirklichkeit“. Die systematische Untersuchung unterschiedlicher Axiomensysteme für unterschiedliche Geometrien (euklidische, hyperbolische, sphärische Geometrie usw.), die unmöglich allesamt die aktuale Welt beschreiben konnten, musste zur Folge haben, dass der Axiombegriff formalistischer verstanden wurde und Axiome insgesamt im Sinne von Definitionen einen konventionellen Charakter erhielten. Als wegweisend erwiesen sich die Schriften David Hilberts zur Axiomatik, der das aus den empirischen Wissenschaften stammende Evidenzpostulat durch die formalen Kriterien von Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit ersetzte. Eine alternative Auffassungsweise bezieht daher ein Axiomensystem nicht einfach hin auf die aktuale Welt, sondern folgt dem Schema: Wenn irgendeine Struktur die Axiome erfüllt, dann erfüllt sie auch die Ableitungen aus den Axiomen (sog. Theoreme). Derartige Auffassungen lassen sich im Implikationismus, Deduktivismus oder eliminativen Strukturalismus verorten.Vgl. z. B. Michael Potter: Set Theory and its Philosophy. A Critical Introduction. Oxford University Press, Oxford/New York 2004, S. 8.
In axiomatisierten Kalkülen im Sinne der modernen formalen Logik können die klassischen epistemologischen (Evidenz, Gewissheit), ontologischen (Referenz auf ontologisch Grundlegenderes) oder konventionellen (Akzeptanz in einem bestimmten Kontext) Kriterien für die Auszeichnung von Axiomen entfallen. Axiome unterscheiden sich von Theoremen dann nur formal dadurch, dass sie die Grundlage logischer Ableitungen in einem gegebenen Kalkül sind.Vgl. Joseph Maria Bocheński: Die zeitgenössischen Denkmethoden. 10. Aufl. 1993, S. 78 f. Als „grundsätzliches“ und „unabhängiges“ Prinzip sind sie innerhalb des Axiomensystems nicht aus anderen Ausgangssätzen abzuleiten und a priori keines formalen Beweises bedürftig.
Naturwissenschaftlicher Axiombegriff In den empirischen Wissenschaften bezeichnet man als Axiome auch grundlegende Gesetze, die vielfach empirisch bestätigt worden sind.Regenbogen/Meyer: Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiom. Als Beispiel werden die Newtonschen Axiome der Mechanik genannt.
Auch wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, beruhen auf Axiomen. Aus diesen werden Theorien geschlussfolgert, deren Theoreme und Korollare den Ausgang von Experimenten vorhersagen können. Stehen Aussagen der Theorie im Widerspruch zur experimentellen Beobachtung, werden die Axiome angepasst. Beispielsweise liefern die Newtonschen Axiome nur für „langsame“ und „große“ Systeme gute Vorhersagen und sind durch die Axiome der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. Trotzdem verwendet man die Newtonschen Axiome weiter für solche Systeme, da die Folgerungen einfacher sind und für die meisten Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau sind.
Formaler Axiombegriff Durch Hilbert (1899) wurde ein formaler Axiombegriff herrschend: Ein Axiom ist jede unabgeleitete Aussage. Dies ist eine rein formale Eigenschaft. Die Evidenz oder der ontologische Status eines Axioms spielen keine Rolle und bleiben einer gesondert zu betrachtenden Interpretation überlassen.
Ein Axiom ist dann eine grundlegende Aussage, die Bestandteil eines formalisierten Systems von Sätzen ist, ohne Beweis angenommen wird und aus der zusammen mit anderen Axiomen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden.
Teilweise wird behauptet, in diesem Verständnis seien Axiome völlig willkürlich: Ein Axiom sei „ein unbewiesener und daher unverstandener Satz“,Seiffert: Wissenschaftstheorie IV. 1997, Anfang. denn ob ein Axiom auf Einsicht beruht und daher „verstehbar“ ist, spielt zunächst keine Rolle.Seiffert: Wissenschaftstheorie IV. 1997, Axiom. Richtig daran ist, dass ein Axiom – bezogen auf eine Theorie – unbewiesen ist. Das heißt aber nicht, dass ein Axiom unbeweisbar sein muss. Die Eigenschaft, ein Axiom zu sein, ist relativ zu einem formalen System. Was in einer Wissenschaft ein Axiom ist, kann in einer anderen ein Theorem sein.
Ein Axiom ist unverstanden nur insofern, als seine Wahrheit formal nicht bewiesen, sondern vorausgesetzt ist. Der moderne Axiombegriff dient dazu, die Axiomeigenschaft von der Evidenzproblematik abzukoppeln, was aber nicht notwendigerweise bedeutet, dass es keine Evidenz gibt. Es ist allerdings ein bestimmendes Merkmal der axiomatischen Methode, dass bei der Deduktion der Theoreme nur auf der Basis formaler Regeln geschlossen wird und nicht von der Deutung der axiomatischen Zeichen Gebrauch gemacht wird.Carnap: Einführung in die symbolische Logik. 3. Aufl., 1968, S. 174.
Die Frage, ob es (mathematische, logische, reale) Objekte gibt, für die das Axiomensystem zutrifft, interessiert zunächst nicht, wird aber mit der Widerspruchsfreiheit grob gleichgesetzt. Natürlich gelten Beispielobjekte, bei denen man mit dem Axiomensystem erfolgreich arbeiten kann, als Beleg für die Existenz solcher Objekte und für die Widerspruchsfreiheit des Axiomensystems.
Beispiele für Axiome Traditionelle Logik Satz von der IdentitätSpree, in: Rehfus: Handwörterbuch Philosophie. 2003, Axiom. Satz vom Widerspruch Satz vom ausgeschlossenen Dritten Satz vom zureichenden Grund
Klassische Logik Komprehensionsaxiom: „Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen.“ Die ursprüngliche Formulierung stammt aus der naiven Mengenlehre Georg Cantors und schien lediglich den Zusammenhang zwischen Extension und Intension eines Begriffs klar auszusprechen. Es bedeutete einen großen Schock, als sich herausstellte, dass es in der Axiomatisierung durch Gottlob Frege nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte, sondern die Russellsche Antinomie hervorrief.
Mathematik mini|hochkant=1.2|Axiome bilden das Fundament der Mathematik. Generell werden in der Mathematik Begriffe wie natürliche Zahlen, Monoid, Gruppe, Ring, Körper, Hilbertraum, Topologischer Raum etc. durch ein System von Axiomen charakterisiert. Man spricht bspw. von den Peano-Axiomen (für die natürliche Zahlen), den Gruppenaxiomen, den Ringaxiomen usw. Manchmal werden einzelne Forderungen (auch die Folgerungen) in einem System auch Gesetz genannt (z. B. das Assoziativgesetz).
Ein spezielles Axiomensystem der genannten Beispiele – die natürlichen Zahlen mit den Peano-Axiomen ggf. ausgenommen (s. u.) – ist durchaus als Definition aufzufassen. Damit man nämlich ein gewisses mathematisches Objekt, bspw. als Monoid ansprechen (und danach weitere Eigenschaften folgern) kann, ist nachzuweisen (mithilfe anderer Axiome oder Theoreme), dass die Forderungen, die im Axiomensystem des Monoids formuliert sind, allesamt für das Objekt zutreffen. Ein wichtiges Beispiel ist die Hintereinanderausführung von Funktionen, bei der der Nachweis der Assoziativität nicht völlig trivial ist. Misslänge nämlich dieser Nachweis bei einem der Axiome, dann könnte das betreffende Objekt nicht als Monoid angesehen werden. (Außerordentlich schwierig ist der auf D. Knuth zurückgehende Nachweis der Assoziativität der Fibonacci-Multiplikation.)