In der Mathematik ist die -Mannigfaltigkeit eine einfach zusammenhängende -Mannigfaltigkeit mit Schnittform , die verschiedene ungewöhnliche Eigenschaften hat. mini|Graph des Dynkin-Diagramms mini|Klempnern zweier -Bündel über Konstruktion Durch die Methode des Klempnerns entlang Graphen können aus mit den Knoten des Graphen assoziierten Kreisscheibenbündeln kompliziertere Mannigfaltigkeiten gebaut werden. Dies wird auf den Graphen des Dynkin-Diagramms angewandt, wobei den Knoten des Graphen jeweils das zum Kotangentialbündel der 2-Sphäre assoziierte Kreisscheibenbündel zugeordnet wird.
Die so erhaltene 4-Mannigfaltigkeit hat als Rand die Poincaré-Homologiesphäre. Diese berandet eine 4-Mannigfaltigkeit mit trivialer Homologie und durch Verkleben erhält man eine geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit Schnittform . (Dies ist ein Spezialfall des Satzes von Freedman, dass es zu jeder unimodularen, symmetrischen Bilinearform eine einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform gibt.)
Eigenschaften Die -Mannigfaltigkeit trägt keine Differentialstruktur. Das folgt aus dem Satz von Rochlin, demzufolge die Signatur einer differenzierbaren Spin-Mannigfaltigkeit durch teilbar ist, oder aus dem Donaldson-Theorem, demzufolge die Schnittformen einfach zusammenhängender, differenzierbarer -Mannigfaltigkeiten nur dann positiv definit sein können, wenn sie diagonalisierbar sind. Die zum Dynkin-Diagramm gehörende Bilinearform ist positiv definit, aber nicht diagonalisierbar. Ihre Signatur ist . Die -Mannigfaltigkeit ist nicht triangulierbar. Dies wurde von Casson mit der zu diesem Zweck eingeführten Casson-Invariante bewiesen. Allgemein sind geschlossene -Mannigfaltigkeiten mit gerader Schnittform und Signatur nicht triangulierbar. und haben keine glatte Struktur (und nicht einmal eine PL-Struktur) für jedes .Scorpan 05, S. 219–220
Verbundene Summen Aus der Klassifikation von FreedmanScorpan 05, S. 240–244 ergeben sich folgende drei orientierungserhaltende Homöomorphismen zwischen verbundenen Summen der -Mannigfaltigkeit , der orientierungsumgekehrten -Mannigfaltigkeit , dem falschen zweiten komplexen projektiven Raum und der K3-Fläche (Lösungen von im Twistor-Raum ):
Benötigt werden dafür die Isomorphismen ihrer Schnittformen: folgt aus der Klassifikation von Serre,Scorpan 05, S. 238 darüber hinaus gelten und . In den obigen Homöomorphismen ist die zugrundeliegende komplexe Fläche der Barlow-Fläche, einer exotischen glatten Struktur. Durch die obigen verbundenen Summen zeigt sich daher, dass, auch wenn die linken Seiten keine kanonische glatte Struktur besitzen (und sich daher keine Diffeomorphismen ergeben können), diese genau wie die rechten Seiten trotzdem glättbar sind und eventuell sogar auf verschiedene Weise.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Mannigfaltigkeit