In der Mathematik besagt das Margulis-Normalteiler-TheoremQuelle für deutsche Bezeichnung: Laudatio zum Abel-Preis 2020 (engl.: Margulis' normal subgroup theorem), dass Normalteiler in Gittern höheren Rangs entweder endlich oder von endlichem Index sind.
Aussage Sei eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe mit und endlichem Zentrum. Sei ein irreduzibles Gitter.
Wenn ein Normalteiler ist, dann ist entweder (und insbesondere endlich) oder ist endlich.
Beweis Der wesentliche Schritt des Beweises besteht darin, dass für einen Normalteiler von unendlichem Index die Faktorgruppe mittelbar sein muss. (Das wird durch Konstruktion einer Gruppenwirkung auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß bewiesen.) Andererseits haben Gitter höheren Rangs und damit auch ihre Faktorgruppen die Eigenschaft T und mittelbare Gruppen mit Eigenschaft T müssen endlich sein.
Der Beweis lässt sich auf Gitter in „Lie-Gruppen über lokalen Körpern“ verallgemeinern.
Literatur
G. A. Margulis: Quotient groups of discrete subgroups and measure theory, Func. Anal. Appl. 12 (1978), no. 4, 295–305 (1979) Kapitel 4.4 in: G. A. Margulis: Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups. Springer, Berlin Heidelberg New York, 1991. Kapitel 8 in: Robert J. Zimmer: Ergodic Theory and Semisimple Groups. Birkhäuser, Basel, 1984.
Weblinks
C. Löh: Margulis's normal subgroup theorem. A short introduction.
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Mathematik) Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen Kategorie:Geometrische Gruppentheorie