Die Von-Neumann-Dimension ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L2-Betti-Zahlen Verwendung findet.
Definition Sei eine abzählbare Gruppe und ein Hilbert--Modul. Dann gibt es eine isometrische -äquivariante Einbettung und eine -äquivariante orthogonale Projektion mit Bild . Die Von-Neumann-Dimension von ist definiert als , wobei die Von-Neumann-Spur bezeichnet. Diese Definition hängt nicht von der gewählten Einbettung ab.
Eigenschaften
. . Wenn ein injektiver -äquivarianter Homomorphismus mit dichtem Bild ist, dann ist . Für eine schwach exakte Sequenz von Hilbert--Moduln ist . Die Von-Neumann-Dimension des vervollständigten Tensorprodukts zweier Hilbert-Moduln ist das Produkt der Von-Neumann-Dimensionen. Wenn eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann ist .
Beispiele
Für eine endliche Gruppe und einen Hilbert--Modul ist . Für und eine messbare Menge ist ein Hilbert--Modul und .
Literatur
W. Lück: L2-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002). H. Kammeyer: Introduction to l2-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019). C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L2-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Algebraische Topologie Kategorie:John von Neumann als Namensgeber