Die Quaternionen (Singular die oder das Quaternion, von m. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben und systematisch fortentwickelt wurden sie ab 1843 von William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch „hamiltonsche Quaternionen“ oder „Hamilton-Zahlen“ genannt. Olinde Rodrigues hatte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton entdecktBei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel Mutation des Raumes. In: Carl Friedrich Gauß: Werke. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach Lam S. 25). – trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit „“ bezeichnet.
Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, also nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen und , bei denen
ist. Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten Assoziativ- und Distributivgesetz sowie multiplikative Invertierbarkeit, d. h. die Existenz des Inversen zu jedem . Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.Tsit Yuen Lam (Berkeley): Hamilton’s Quaternions (PostScript, englisch). Abgerufen am 30. August 2009
Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raums und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen. Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.
Konstruktion Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen (Adjunktion) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen , und gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein Vektorraum) mit einem Realteil, der aus einer reellen Komponente besteht, und einem Imaginärteil aus drei Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird.
Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form
mit reellen Zahlen , , , schreiben. Damit bilden die Elemente eine Basis, die Standardbasis der Quaternionen über . Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen , , gemäß den Hamilton-Regeln
verknüpft. Die Skalarmultiplikation , die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wirdSie ist nicht mit dem Skalarprodukt zu verwechseln. und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem Rechtsdistributivgesetz und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar als in eingebettet wird, kann als Unterring von aufgefasst werden.
Die so definierte Multiplikation ist assoziativ, erfüllt die beiden DistributivgesetzeWegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden. und macht so die Quaternionen zu einem Ring. Sie ist allerdings nicht kommutativ, d. h., für zwei Quaternionen und sind die beiden Produkte und im Allgemeinen verschieden (s. u.). Das Zentrum von , also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von , die mit allen Elementen kommutieren, ist .
Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion eine inverse Quaternion gibt mit . Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z. B. , vermieden.
Des Weiteren sind die Quaternionen eine vierdimensionale Divisionsalgebra über – und bis auf Isomorphie die einzige.
Schreibweise Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt:
Ist eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit bezeichnet, und diese sind der Basis folgendermaßen zugeordnet:
Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten zu einem 3-dimensionalen Vektor zusammengefasst, sodass man mit dem 4-dimensionalen Vektor identifizieren kann.NB: wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.
Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie etc. gelten.
In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen Frakturbuchstaben und die imaginären Einheiten als Einheitsvektoren mit kleinen in Fraktur bezeichnet, z. B. so:
mit .
Komplexe Zahlen tragen meist den Namen und haben die reellen Komponenten , .
Grundrechenarten Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit , und bezeichnet werden.
Die Linearkombinationen
über der Basis spannen mit reellen Komponenten den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen auf. Als Vektorraum ist isomorph zu . Das Basiselement , das die reellen Zahlen injektiv einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise.
Vom Vektorraum wird auch die Skalarmultiplikation übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine Einschränkung der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge
geschieht nach den Hamilton-Regeln . Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als assoziativ erweist und zu einer Gruppe macht – der Quaternionengruppe.
Unter Voraussetzung der Regel (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus und , in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel . Diese Einzelregel könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln , , , oder ersetzt werden.
Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des Assoziativgesetzes und (linken sowie rechten) Distributivgesetzes lässt sich die Multiplikation auf ganz fortsetzen. Die kann man wie anti-kommutierende Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen.
Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen und lauten
bzw.
Herleitung:
Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind.
Das additive Inverse ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die Subtraktion ist die Addition dieses Inversen.
Die für einen Schiefkörper erforderliche Division muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe Inverses und Division).Reelle Faktoren kommutieren mit und damit mit allen Quaternionen, d. h., es gilt beispielsweise , aber . Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z. B. gilt . Die binomischen Formeln oder sind hier also nicht anwendbar. Sie setzen voraus, dass gilt.
Gegenring Ist ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation
ausgestattete Ring als Gegenring bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring , der wegen der Nicht-Kommutativität von von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt Grundrechenarten angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur Koeffizienten mit und haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform .
Im Übrigen hat Gauß laut Lam. die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert.
Des Weiteren ist die Orientierung des Dreibeins in gespiegelt. Die Identität auf der Grundmenge ist ein Antiisomorphismus und die Konjugation ein Isomorphismus.
Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von und . Da beide Ringe die Ringaxiome der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne Hölders. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen.
Grundlegende Begriffe Skalarteil und Vektorteil Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente einer Quaternion
bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als Realteil oder Skalarteil , während die Komponenten zusammen den Imaginärteil oder Vektorteil
bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor .
Konjugation Zu jeder Quaternion
ist die konjugierte Quaternion definiert als . Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen
und , aus denen sich unmittelbar
und
ausrechnet.Im Komplexen gilt dagegen
mit Abspaltung der imaginären Einheit von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine reelle Zahl ist. Und es gilt:
Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d. h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine reine Quaternion, d. h., der Skalarteil ist null.
Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: Die Konjugation ist eine Involution. und für reelle Zahlen Die Konjugation ist -linear. Die Konjugation ist ein involutiver Antiautomorphismus. Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s. a. Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie).
Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im , ist definiert durch . Es gilt . Es ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform, über die sich Norm und Betrag definieren lassen und mit der Winkel und Orthogonalität bestimmt werden können.
Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: .
Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem Mittepunkt zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist.
Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt notiert.
Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor 2 ihr Kommutator. Ist und , so ist
Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt Identifiziert man Quaternionen und mit Paaren aus einem Skalar und einem Vektor mit bzw. mit , so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) Skalarprodukts und Kreuzprodukts beschreiben: .
Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander vertauschbar, wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s. a. Einbettung der komplexen Zahlen).
Norm und Betrag Das Skalarprodukt einer Quaternion mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird Norm genannt: Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.