Die Quantenfeldtheorie (QFT) ist ein Gebiet der theoretischen Physik, in dem Prinzipien klassischer Feldtheorien (zum Beispiel der klassischen Elektrodynamik) und der Quantenmechanik zur Bildung einer erweiterten Theorie kombiniert werden. Sie geht über die Quantenmechanik hinaus, indem sie Teilchen und Felder einheitlich beschreibt. Dabei werden nicht nur sogenannte Observablen (also beobachtbare Größen wie Energie oder Impuls) quantisiert, sondern auch die wechselwirkenden (Teilchen-)Felder selbst; Felder und Observable werden analog behandelt. Die Quantisierung der Felder bezeichnet man auch als Zweite Quantisierung. Diese berücksichtigt explizit die Entstehung und Vernichtung von Elementarteilchen (Paarerzeugung, Annihilation).
Die Methoden der Quantenfeldtheorie kommen vor allem in der Elementarteilchenphysik und in der statistischen Mechanik zur Anwendung. Man unterscheidet dabei zwischen relativistischen Quantenfeldtheorien, die die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigen und häufig in der Elementarteilchenphysik Anwendung finden, und nicht-relativistischen Quantenfeldtheorien, die beispielsweise in der Festkörperphysik relevant sind.
Die Objekte und Methoden der QFT sind physikalisch motiviert, auch wenn viele Teilbereiche der Mathematik zum Einsatz kommen. Die Axiomatische Quantenfeldtheorie versucht dabei, Grundlagen und Konzepte in einen mathematisch strengen Rahmen zu fassen.
Von der Quantenmechanik zur Quantenfeldtheorie Die klassische Quantenmechanik befasste sich zunächst mit Atomen, Molekülen oder Festkörpern, d. h. mit Systemen mit einer vorgegebenen Zahl von Teilchen. Dabei wurden die Schrödingergleichung und ein von Wellenfunktionen aufgespannter Hilbertraum verwendet.
Zu einer Quantenfeldtheorie gelangt man beim konsequenten Übergang von einer Wellenfunktions- zu einer Teilchenzahl-Darstellung, der zweiten Quantisierung. Genauer bedeutet dies, dass sich ein solcher Vielteilchen-Hilbertraum nach Wahl eines Satzes von Ein-Teilchen-Funktionen durch alle möglichen (erlaubten) Produkte von Ein-Teilchen-Funktionen (z. B. Slater-Determinanten) aufspannen lässt. Ein vollständiger Satz solcher Basisvektoren ist dann allein durch die Besetzungszahlen der Einteilchen-Zustände charakterisierbar.
Eine Streuung von einem Teilchen an einem Potential erscheint in einer solchen Teilchenzahl-Darstellung als eine Änderung von Besetzungszahlen: der dem Impuls des einlaufenden Teilchens entsprechende Zustand enthält nach der Streuung ein Teilchen weniger, der dem Impuls des auslaufenden Teilchens entsprechende Zustand enthält nach der Streuung ein Teilchen mehr. Dies interpretiert man natürlicherweise als Vernichtung und Erzeugung von Teilchen gewisser Einteilchenzustände. Die grundlegenden Operatoren sind dann Teilchen-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, der Hilbertraum wird zu einem Fockraum. Der resultierende Formalismus ist eine Quantenfeldtheorie.
Quantenfeldtheorien sind in der Regel das adäquate Mittel zur Beschreibung quantenmechanischer Vielteilchensysteme. Die richtige Vertauschungssymmetrie der Wellenfunktion ist dann implizit, und für das Pauli-Prinzip und das allgemeinere Spin-Statistik-Theorem ergeben sich einfache Begründungen oder Herleitungen.
Ein essentieller Aspekt der Quantenfeldtheorien ist, dass sich Teilchenzahlen ändern können. Die grundlegenden Operatoren sind dann nicht mehr die Teilchenkoordinaten und -Impulse, sondern Quantenfelder wie oder , welche ein Teilchen (oder Antiteilchen) am Ort vernichten oder erzeugen.
Sobald die Relativitätstheorie ins Spiel kommt, können entsprechend der Äquivalenz von Energie und Masse Teilchen entstehen oder verschwinden, und in der Elementarteilchenphysik ist der Quantenfeldtheorie-Formalismus daher das Mittel der Wahl. Klein-Gordon-Gleichung und Dirac-Gleichung erhalten eine neue Interpretation, und die im klassischen Formalismus mit Antiteilchen auftretenden Komplikationen verschwinden.
Grundlagen Die Quantenfeldtheorien sind ursprünglich als relativistische Streutheorien entwickelt worden. In gebundenen Systemen sind die Teilchenenergien im Allgemeinen deutlich kleiner als die Massenenergien mc2. Daher ist es in solchen Fällen meist ausreichend genau, in der nichtrelativistischen Quantenmechanik mit der Störungstheorie zu arbeiten. Bei Kollisionen zwischen kleinen Teilchen können jedoch sehr viel höhere Energien auftreten, so dass relativistische Effekte berücksichtigt werden müssen.
Im folgenden Abschnitt wird erklärt, welche Schritte zur Entwicklung einer relativistischen Streutheorie nötig sind. Zunächst wird dazu die Lagrangedichte aufgestellt, dann werden die Felder quantisiert. Zuletzt wird mit den quantisierten Feldern eine Streutheorie beschrieben und ein dabei auftretendes Problem durch die Renormierung gelöst.
Lagrangedichte Der erste Schritt zu einer Quantenfeldtheorie besteht darin, Lagrangedichten für die Quantenfelder zu finden. Diese Lagrangedichten müssen als Euler-Lagrange-Gleichung die im Allgemeinen bekannte Differentialgleichung für das Feld liefern. Das sind für ein Skalarfeld die Klein-Gordon-Gleichung, für ein Spinorfeld die Dirac-Gleichung und für das Photon die Maxwellgleichungen.
Im Folgenden wird immer die 4er-(Raumzeit)-Vektoren-Schreibweise verwendet. Dabei werden die üblichen Kurzschreibweisen benutzt, nämlich die Kurzschreibweise für Differentiale und die Einsteinsche Summenkonvention, die besagt, dass über einen oben und einen unten stehenden Index (von 0 bis 3) summiert wird. Im verwendeten Einheitensystem gilt: .
+ Freie Lagrangedichten verschiedener Felder Feld Feldgleichung LagrangedichteSkalar (Spin = 0)Spinor (Spin = 1/2)Photon (Spin 1) Dabei bezeichnet die Dirac-Matrizen. ist der D’Alembert-Operator. ist der sogenannte adjungierte Spinor. sind die Komponenten des Feldstärketensors. Dabei wurden hier die Maxwellgleichungen in kovarianter Formulierung ohne die Quellenterme (Ladungs- und Stromdichte) benutzt.
Die oben aufgeführten Lagrangedichten beschreiben freie Felder, die nicht wechselwirken. Sie ergeben die Bewegungsgleichungen für freie Felder. Für Wechselwirkungen der Felder untereinander müssen den Lagrangedichten zusätzliche Terme hinzugefügt werden. Dabei ist auf folgende Punkte zu achten: Die hinzugefügten Terme müssen alle skalar sein. Das bedeutet, dass sie invariant unter Poincaré-Transformationen sind. Die hinzugefügten Terme müssen die Dimension (Länge)−4 haben, da die Lagrangedichte in der skalaren Wirkung über die Raumzeit integriert wird. Dies lässt sich gegebenenfalls durch einen konstanten Faktor mit passender Dimension erreichen. Solche Faktoren nennt man Kopplungskonstanten. Die Lagrangedichte muss eichinvariant sein. Das heißt, die Form der Lagrangedichte unter Eichtransformationen darf sich nicht ändern.
Erlaubte Terme sind zum Beispiel wobei m und n natürliche Zahlen sind (einschließlich Null) und k die Kopplungskonstante ist. Wechselwirkungen mit dem Photon werden meist durch die kovariante Ableitung () in der Lagrangedichte für das freie Feld realisiert. Dabei ist die elektrische Ladung e des Elektrons hier zugleich die Kopplungskonstante des elektromagnetischen Feldes.
Feldquantisierung Bisher wurde noch keine Aussage über die Eigenschaften der Felder gemacht. Bei starken Feldern mit einer großen Zahl von Bosonen-Anregungen können diese halbklassisch behandelt werden, im Allgemeinen muss man aber zunächst einen Mechanismus entwickeln, um die Auswirkungen der Quantennatur der Felder zu beschreiben. Die Entwicklung eines solchen Mechanismus bezeichnet man als Feldquantisierung und sie ist der erste Schritt, um das Verhalten der Felder berechenbar zu machen. Es gibt dabei zwei verschiedene Formalismen, die unterschiedliches Vorgehen beinhalten.
Der ältere kanonische Formalismus lehnt sich an den Formalismus der Quantenmechanik an. Er deutet die dort auftretenden Ein-Teilchen-Wellengleichungen als die Beschreibungen von Amplituden einer klassischen Feldtheorie, welche ihrerseits einer Quantisierung gemäß der kanonischen Vertauschungsregeln der Quantenmechanik bedürfen. Der Formalismus eignet sich damit, um fundamentale Eigenschaften der Felder, wie das Spin-Statistik-Theorem zu zeigen. Sein Nachteil ist jedoch, dass viele Aspekte in diesem Formalismus recht willkürlich wirken. Außerdem sind die Berechnung von Wechselwirkungsamplituden und die Feldquantisierung bei nicht-abelschen Eichtheorien recht kompliziert. Der neuere Pfadintegral-Formalismus baut auf dem Prinzip der kleinsten Wirkung auf, das heißt, es wird über alle Feldkonfigurationen integriert, sich nicht aufhebende Beiträge kommen aber bei schwacher Kopplung nur von Pfaden in der Nähe der Minima der Wirkung. Der Vorteil dieses Formalismus ist, dass sich die Berechnung von Wechselwirkungsamplituden als vergleichsweise einfach darstellt und die Symmetrien der Felder klar zum Ausdruck kommen. Der aus mathematischer Sicht schwerwiegende Mangel dieses Formalismus ist, dass die Konvergenz des Pfadintegrals und damit das Funktionieren der Methoden des Formalismus nicht mathematisch streng bewiesen ist. Er wird daher besonders in der mathematischen Physik teilweise als heuristisch und „unpräzise“ bzw. „nichtkonstruktiv“ abgelehnt, obwohl er zugleich als Ausgangspunkt der Gittereichtheorien dient, die eines der Hauptwerkzeuge der numerischen Behandlung von Quantenfeldtheorien sind.
Im Folgenden werden die Grundlagen der Feldquantisierung für freie Felder in beiden Formalismen erklärt.
Kanonischer Formalismus Für die Feldquantisierung im kanonischen Formalismus benutzt man den Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik. Man ordnet dabei jedem Feld ( bzw. ) ein kanonisch konjugiertes Feld analog dem kanonischen Impuls zu. Das Feld und sein kanonisch konjugiertes Feld sind dann im Sinne der Quantenmechanik konjugierte Operatoren, sogenannte Feldoperatoren, und erfüllen eine Unschärferelation, wie Ort und Impuls in der Quantenmechanik. Die Unschärferelation kann entweder durch eine Kommutatorrelation (für Bosonen nach dem Spin-Statistik-Theorem) oder eine Antikommutatorrelation (für Fermionen) analog zum Kommutator von Ort und Impuls realisiert werden. Den Hamilton-Operator, der die Energie des Systems charakterisiert, erhält man, indem man die Hamilton-Funktion bildet und darin die Felder durch die Feldoperatoren ersetzt. Er ist in der Regel positiv definit oder darf zumindest keine unbeschränkt negativen Eigenwerte haben, da ein solches System unter beliebig großer Energieabgabe an die Umgebung in immer tiefere Energieeigenzustände fallen würde.
Skalare Felder Für skalare Felder erhält man als kanonisch konjugiertes Feld zu und als kanonisch konjugiertes Feld zu . Die geforderte Kommutatorrelation lautet
Es ist in Quantenfeldtheorien üblich, im Impulsraum zu rechnen. Dazu betrachtet man die Fourier-Darstellung des Feldoperators, die für das Skalarfeld lautet
Dabei sind der Impuls und die Stufenfunktion, die bei negativem Argument 0 und sonst 1 ist. Da und Operatoren sind, trifft dies auch auf , , und zu. Ihre Kommutatoren folgen aus dem Kommutator der Feldoperatoren. Der Operator kann als Operator interpretiert werden, der ein Teilchen mit Impuls erzeugt, während ein Antiteilchen mit Impuls erzeugt. Entsprechend können und als Operatoren interpretiert werden, die ein Teilchen oder Antiteilchen mit Impuls vernichten. Die Verwendung der Kommutatorrelationen führt wie gewünscht zu einem positiv definiten Hamilton-Operator. Es können beliebig viele Skalarfelder im selben Zustand sein (Bose-Einstein-Statistik).
Spinorfelder Wenn man für ein Spinorfeld analog vorgeht, erhält man als kanonisch konjugiertes Feld zu und als kanonisch konjugiertes Feld zu . Damit ergeben sich die geforderten (Anti-)Kommutatorrelationen zu