Ein spektraler Raum ist ein topologischer Raum, der homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes ist. Spektrale Räume sind ein wichtiger Gegenstand der modernen algebraischen Geometrie.
Definition
Sei ein topologischer Raum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
ist nüchtern, (quasi-)kompakt, der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen ist kompakt und die Menge der kompakten offenen Teilmengen bildet eine Basis der Topologie;Stacks project: Tag 08YG ist homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes; ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher Kolmogoroff-Räume;Hochster: Prop. 10 ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher nüchterner Räume.Stacks project: Tag 09XX
In diesem Fall nennen wir spektral.
Besitzt jeder Punkt eines Raumes eine offene Umgebung, die in der Teilraumtopologie spektral ist, so heißt lokal spektral.Hochster: §16
Ein topologischer Raum, für den der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen wieder kompakt ist, heißt semispektral.Hochster: §12
Beispiele
Jeder Stone-Raum ist spektral, denn jeder diskrete Raum ist Kolmogoroff. Für jeden kommutativen Ring ist spektral. Für jeden kommutativen Ring ist das Bewertungsspektrum spektral.Wedhorn: Prop. 4.7 Jedes Schema ist lokal spektral.
Spektrale Abbildungen
Eine Abbildung zwischen spektralen Räumen heißt spektral, falls für jede offene kompakte Teilmenge das Urbild kompakt ist. Die Komposition spektraler Abbildungen ist wieder spektral.
Eigenschaften
Jeder abgeschlossene Teilraum eines spektralen Raumes ist spektral. Das folgt daraus, dass abgeschlossene Unterschemata affiner Schemata wieder affin sind. Das Produkt zweier spektraler Räume ist spektral.Stacks project: Tag 0907
Unterliegende Räume von Schemata
Mithilfe dieser Definitionen ist es möglich, eine Charakterisierung topologischer Räume zu geben, die Schemata zugrunde liegen. Für einen topologischen Raum sind äquivalent:Hochster: Prop. 16
ist der unterliegende Raum eines Schemas; ist lokal spektral und semispektral; ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines spektralen Raumes; ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines affinen Schemas.
Literatur
Melvin Hochster (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43—60 Stacks project: Tag 08YG Wedhorn: Adic spaces
Einzelnachweise
Kategorie:Mengentheoretische Topologie Kategorie:Algebraische Geometrie