In der Mathematik ist ein hermitescher symmetrischer Raum eine hermitesche Mannigfaltigkeit, die gleichzeitig ein symmetrischer Raum ist. Beispiele sind die riemannsche Zahlenkugel, die hyperbolische Ebene oder der siegelsche Halbraum. Hermitesche symmetrische Räume werden in der algebraischen Geometrie als Parameterräume für die Variation von Hodge-Strukturen verwendet.
Automorpismen hermitescher symmetrischer Räume
Für einen Hermiteschen symmetrischen Raum bezeichne die Gruppe der biholomorphen Abbildungen, die Gruppe der riemannschen Isometrien und die Gruppe der holomorphen Isometrien.
Wenn von nichtkompaktem Typ ist, dann geben die Inklusionen
Gleichheiten der Zusammenhangskomponenten der Eins .
Dann wirkt transitiv auf mit Stabilisator eines Punktes , und man hat .
Sei die Lie-Algebra von , dann gibt es eine eindeutige zusammenhängende algebraische Gruppe mit
Die algebraische Gruppe ist halbeinfach und ist nichtkompakt.
Klassifikation kompakter hermitescher symmetrischer Räume Kompakte hermitesche symmetrische Räume sind Produkte von irreduziblen kompakten Hermiteschen symmetrischen Räumen.
Die irreduziblen kompakten hermiteschen symmetrischen Räume lassen sich wie folgt klassifizieren.
komplexe DimensionRang geometrische Interpretation Grassmann-Mannigfaltigkeit der komplex -dimensionalen Unterräume des Raum der orthogonalen komplexen Strukturen auf dem Raum der mit dem Skalarprodukt kompatiblen komplexen Strukturen auf dem 2 Grassmann-Mannigfaltigkeit der orientierten, reell -dimensionalen Unterräume des 16 2 Komplexifizierung der Cayley-projektiven Ebene 27 3 Raum derjenigen symmetrischen Unterräume der Rosenfeld-projektiven Ebene , die isomorph zu sind
Weblinks
J. Milne: Introduction to Shimura Varieties
Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit