Ein Schiefkörper oder Divisionsring ist eine algebraische Struktur, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt, außer dass die Multiplikation nicht notwendigerweise kommutativ ist.

Ein Schiefkörper ist somit ein Ring mit Einselement , in dem jedes Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Als solcher ist für ihn die Charakteristik definiert.

Jeder Schiefkörper mit einer endlichen Anzahl von Elementen ist nach dem Satz von Wedderburn schon ein Körper, das heißt, die Multiplikation ist automatisch kommutativ. Ist ein Schiefkörper kein Körper, muss er demnach unendlich viele Elemente enthalten. Ein Beispiel ist der Schiefkörper der Quaternionen, er hat die Charakteristik 0.

Das Zentrum eines Schiefkörpers ist ein (kommutativer) Körper , und mittels der Inklusion wird zu einer -Algebra. Die Gesamtheit derjenigen Schiefkörper mit einem vorgegebenen Zentrum , die als -Vektorraum endlichdimensional sind, wird durch die Brauergruppe von beschrieben.

Es existieren nichtkommutativeDas Attribut „nichtkommutativ“ bezieht sich bei Schiefkörpern immer auf die Multiplikation. Man nennt nichtkommutative Schiefkörper oft auch „echte Schiefkörper“, weil sie keine Körper sind. Schiefkörper, die eine mit den Verknüpfungen des Schiefkörpers verträgliche, totale Anordnung zulassen. Sie werden als angeordnete Schiefkörper bezeichnet.

Zur algebraischen Beschreibung einer affinen Ebene oder einer projektiven Ebene werden in der synthetischen Geometrie für desarguesche Ebenen Schiefkörper als Koordinatenbereiche eingesetzt. Zur Beschreibung nichtdesarguescher (affiner oder projektiver) Ebenen werden dort zum gleichen Zweck unter anderem Alternativkörper, Quasikörper und Ternärkörper verwendet. Dabei wird der Begriff Schiefkörper verallgemeinert: Jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper, jeder Alternativkörper ein Quasikörper und jeder Quasikörper ein Ternärkörper.

Geschichte des Begriffs Als erster nichtkommutativer Körper wurde 1843 der Quaternionenring von William Rowan Hamilton konstruiert. Sein Ziel war es dabei, Vektoren des dreidimensionalen Raumes darzustellen, und zwar möglichst analog zur Darstellung von Vektoren der Ebene durch komplexe Zahlen. Hamilton und seine Nachfolger bauten auf dieser Grundlage einen ausgefeilten geometrischen Kalkül auf, der letztlich mit zur Entwicklung der Vektoranalysis führte. Schiefkörper wie die Quaternionen, die endlichdimensionale Vektorräume über ihrem Zentrum sind, wurden in den 1920er und 1930er Jahren intensiv erforscht und das Gebiet wurde in den 1970er Jahren wieder belebt.Jacobson (1996).

Der erste Schiefkörper, der über seinem Zentrum unendlichdimensional ist, wurde von David Hilbert 1903 konstruiert. Ihm ging es darum, ein Modell für einen nichtkommutativen Schiefkörper angeben zu können, der eine Anordnung zulässt, die analog zu den bekannten Anordnungen der formal reellen (kommutativen) Körper mit den algebraischen Verknüpfungen verträglich ist. Über einem solchen Schiefkörper konnte er dann eine affine Geometrie definieren, die einige, aber nicht alle Axiome seiner Axiomatik der euklidischen Geometrie erfüllt.

1931 studierte Øystein Ore die weiter unten in diesem Artikel beschriebene und nach ihm benannte Konstruktionsmethode für Schiefkörper.

Sprachregelungen In der älteren Literatur werden häufig auch nichtkommutative Schiefkörper als „Körper“ bezeichnet: In diesem Sprachgebrauch bezeichnete man einen Körper im heutigen Sinn als „kommutativen Körper“, einen Schiefkörper im heutigen Sinn einfach als „Körper“ (oder „nicht notwendig kommutativen Körper“) und nur den echten Schiefkörper bzw. nichtkommutativen Schiefkörper als „Schiefkörper“; der Satz von Wedderburn heißt für gewöhnlich „Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper, also ein Galoisfeld“,So etwa bei Emil Artin: Über einen Satz von Herrn J. H. Maclagan Wedderburn. Emil Artin berichtet in der dortigen Fußnote 4 zum Begriff „Schiefkörper“: „Diesen Namen hat Herr B. L. van der Waerden vorgeschlagen.“ in diesem Sprachgebrauch aber „Jeder endliche Körper ist kommutativ“ oder auch „Endliche Schiefkörper gibt es nicht“.Siehe zum Beispiel die Bemerkungen hierzu in van der Waerden: Algebra I. (1993), 1. § 11 Ringe. Im Französischen schließt der Begriff „corps“ bis heute den nichtkommutativen Fall mit ein, ebenso im Italienischen der Begriff „corpo“, wobei letzterer parallel zu dem (dem englischen Ausdruck für einen Körper, field, entsprechenden) Begriff „campo“ für Körper im Sinne dieses Artikels verwendet wird.

Definitionen und Eigenschaften Eine Menge mit zwei zweistelligen Operationen (Addition), (Multiplikation) und zwei Konstanten heißt Schiefkörper, wenn die folgenden Axiome gelten: ist eine kommutative/abelsche Gruppe. ist eine Gruppe. Es gelten die beiden Distributivgesetze und für alle

Gleichwertig zu diesem Axiomensystem ist das folgende, das ohne Distributivgesetz auskommt:G. Pickert in: Mathematische Zeitschrift. Nr. 71, 1959, S. 99–108.

Es seien wie oben vorausgesetzt sowie eine abelsche Gruppe, eine Gruppe, mit dem durch gegebenen Sternprodukt van der Waerden: Algebra II. § 97, S. 57. Manche Autoren schreiben für auch eine Gruppe und es gelte dann ist ein Schiefkörper.

Äquivalent dazu ist auch diese Definition:van der Waerden: Algebra I. § 11, S. 38 f.

Ein Ring heißt Schiefkörper, wenn

die Gleichungen und sind für stets lösbar in

Es wird hier nicht verlangt, dass die Gleichungen eindeutige Lösungen besitzen, die Eindeutigkeit lässt sich jedoch zeigen. Ein Schiefkörper ist also ein Ring, in dem eine Links- und eine Rechtsdivision definiert werden können, daher auch der Name Divisionsring.

Das nun folgende, gleichwertige Axiomensystem betont den multiplikativen Aspekt des Schiefkörpers:Cohn (1995).

Es sei eine Gruppe. Die Gruppe mit 0 auf ist dann die Menge mit der durch die Vereinbarung fortgesetzten Verknüpfung. Ist nun eine Abbildung mit

für für dann ist mit der Addition

ein Schiefkörper. Bei gegebenem Schiefkörper mit Addition ist die Abbildung durch gegeben.

Teilkörper Ist ein Schiefkörper und eine Teilmenge mit und ist eine Untergruppe von sowie eine Untergruppe von , dann nennt man einen TeilkörperSystematisch besser wäre hier die Bezeichnung „Teilschiefkörper“, aber diese ist in der Literatur kaum gebräuchlich, vgl. Pickert (1951). von . Für diese Teilkörperbeziehung schreibt man dann

Zentrum und Zentralisator Ist ein Schiefkörper, dann heißt die Menge das Zentrum von . Elemente werden als zentrale Elemente des Schiefkörpers bezeichnet. Das Zentrum von ist das Zentrum im Sinne der Gruppentheorie der multiplikativen Gruppe zusammen mit dem Nullelement: . Der Zentralisator einer Teilmenge ist definiert durch Jeder Zentralisator ist ein (nicht notwendig kommutativer) Teilkörper von . Für den Zentralisator einer Teilmenge gilt stets Der Zentralisator kehrt Teilmengenbeziehungen um: . Speziell gilt .

Charakteristik Die Charakteristik eines Schiefkörpers ist analog zu der von kommutativen Körpern definiert: Die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft Man beachte, dass mit eine Summe mit Summanden gemeint ist. Dies ist zu unterscheiden von der Multiplikation von zwei Schiefkörperelementen! heißt Charakteristik von . Dieses muss dann eine positive Primzahl sein. Ist für alle positiven natürlichen Zahlen dann definiert man: hat die Charakteristik 0.

Morphismen und Ideale Der Begriff Homomorphismus ist für Schiefkörper genauso definiert wie der Begriff Ringhomomorphismus in der Ringtheorie: Ist ein Schiefkörper und ein Ring, dann wird als Ringhomomorphismus bezeichnet, wenn für alle gilt: und . Über die allgemeinen Eigenschaften eines Ringhomomorphismus hinaus hat die folgenden Eigenschaften, da ein Schiefkörper ist: Es ist entweder der Nullring oder ist injektiv, also eine Einbettung in den Ring , denn besitzt keine außer den trivialen Idealen, . Im Fall der Einbettung wird der Ring durch in natürlicher Weise zu einem -Linksmodul, der eine -Basis und eine eindeutige Dimension über hat, also zu einem freien Modul über Ist surjektiv und nicht der Nullring, dann ist isomorph zu und selbst ein Schiefkörper. Ist , dann nennt man einen Schiefkörperendomorphismus, auch dann, wenn ist. Ist aber der Endomorphismus , also injektiv, dann braucht er im Allgemeinen nicht surjektiv zu sein. Ist ein durch punktweise fixierter Teilkörper und ist endlich, dann folgt aus der Surjektivität die Bijektivität.

Ein Ringhomomorphismus wird als Schiefkörperhomomorphismus bezeichnet, wenn auch ein Schiefkörper ist, als Schiefkörperisomorphismus, wenn er bijektiv ist und als Schiefkörperautomorphismus, wenn darüber hinaus noch ist.

Antihomomorphismen Ist ein nichtkommutativer, also „echter“ Schiefkörper, dann sind zusätzlich zu den Ringhomomorphismen die Antihomomorphismen von Interesse: Ist wieder ein Schiefkörper und ein Ring, dann heißt Anti(-ring)homomorphismus, wenn für alle gilt: und . Für kommutative Körper unterscheidet sich das natürlich nicht vom Begriff des Ringhomomorphismus, denn das Kommutativgesetz der Multiplikation überträgt sich auf das Bild .

Alle genannten Begriffe für Homomorphismen werden entsprechend für Antihomomorphismen gebildet, der triviale „Anti“-Homomorphismus stimmt mit dem trivialen Homomorphismus überein. Es muss im Allgemeinen kein Antiautomorphismus von existieren (oder bekannt sein). Für den reellen Quatornionenschiefkörper ist die Konjugation ein Antiautomorphismus, ebenso die analog definierte Abbildung für die quaternionenartigen Schiefkörper, die bei den Beispielen in diesem Artikel genannt sind. Für jeden Schiefkörper kann man aber eine antiisomorphe Struktur, seinen Gegenring konstruieren, indem man die Multiplikation umkehrt, man definiert also für und behält die ursprüngliche Addition bei. Dann ist ein zu antiisomorpher Schiefkörper, der vermittelnde Antiisomorphismus ist die identische Abbildung auf der Menge .

Eigenschaften und verwandte Begriffe In einer Divisionsalgebra muss die Multiplikation nicht notwendigerweise assoziativ sein. Jeder Schiefkörper ist eine Divisionsalgebra über seinem Zentrum, eine -Divisionsalgebra über einem Körper ist genau dann ein Schiefkörper, wenn das Assoziativgesetz erfüllt und damit eine Gruppe bildet. In diesem Fall ist ein Teilkörper des Zentrums von , Jeder Schiefkörper ist ein Fastkörper, ein Fastkörper ist genau dann ein Schiefkörper, wenn er beide Distributivgesetze erfüllt. Wird in dem Axiomensystem von Cohn mit der Nachfolgerabbildung das 3. Axiom nicht gefordert, dann beschreibt es einen Fastkörper. Jeder Schiefkörper ist ein Halbkörper im Sinne der Geometrie und ein Alternativkörper, ein Halbkörper oder Alternativkörper ist genau dann ein Schiefkörper, wenn die Multiplikation assoziativ ist. Ein Ring mit Einselement (unitärer Ring) ist genau dann ein Schiefkörper, wenn jedes Element außer dem Nullelement ein links- und ein rechtsinverses Element bezüglich der Multiplikation besitzt. Die Gleichheit dieser beiden inversen Elemente und die Eindeutigkeit des also zugleich links- und rechtsinversen Elementes lässt sich dann aus den übrigen Ringaxiomen beweisen.

Angeordneter Schiefkörper Ein Schiefkörper , auf dem eine totale Ordnung definiert ist, heißt angeordneter Schiefkörper, wenn die Ordnung mit den Körperoperationen verträglich ist. Verträglichkeit bedeutet hier, dass für alle die folgenden Anordnungsaxiome gelten:Prieß-Crampe (1983). Aus folgt (Monotonie der Addition). Aus und folgt und (Abgeschlossenheit des Positivbereichs bezüglich der Multiplikation).

Die Forderung, dass die Ordnung eine „totale Ordnung“ sein soll, bedeutet: Die zweistellige Relation auf ist reflexiv, das heißt, es gilt für jedes Element und sie ist transitiv, das heißt, es folgt für aus stets . Mit diesen beiden Eigenschaften ist die Relation eine schwache Halbordnung auf der Menge . Sie soll nun zusätzlich total sein, das bedeutet: