Der Satz von Bombieri und Winogradow ist ein 1965 bewiesener Satz der analytischen Zahlentheorie von Enrico Bombieri und Askold Iwanowitsch Winogradow (manchmal wird er auch nur nach Bombieri benannt).
Er macht Aussagen über den Fehlerterm in der im dirichletschen Primzahlsatz gemachten Aussage zur Verteilung der Primzahlen kleiner gleich in arithmetischen Progressionen. Dabei wird eine Mittelung über den Modulus der Progressionen vorgenommen (Moduli mit einer natürlichen Zahl ). Für Werte von nahe ist der Fehlerterm bis auf logarithmische Faktoren von der Größenordnung . Ohne die Mittelung über die Moduli wäre die Aussage des Satzes ähnlich mächtig wie die verallgemeinerte riemannsche Vermutung.
Der Beweis ist eine Anwendung des großen Siebes, wobei Mittelwerte von Dirichlet-Charakteren abgeschätzt wurden.
Er stellt eine erhebliche Verbesserung des Satzes von Siegel-Walfisz dar. Der Satz entspricht der Vermutung von Elliott und Halberstam für den Fall (für die Definition des Parameters siehe dort), die damit den Satz in gewisser Weise verallgemeinert (die volle Vermutung betrifft den Fall ) .
Yōichi Motohashi zeigte 1976,Motohashi, An induction principle for the generalization of Bombieri's prime number theorem, Proc. Japan Academy, Band 52, 1976, S. 273–275, siehe auch Bombieri, Friedlander, Iwaniec, Primes in arithmetic progressions to large moduli, Acta Mathematica, Band 156, 1986, S. 206 dass das Analogon des Satzes von Bombieri und Winogradow auch für arithmetische Funktionen gilt, die als Linearkombinationen von Dirichlet-Faltungen zweier Folgen komplexer Zahlen mit bestimmten Zusatzeigenschaften dargestellt werden können.John Friedlander, Henryk Iwaniec, Opera di Cribro, American Mathematical Society Colloquium Publ., 2010, S. 168 Der ursprüngliche Satz von Bombieri und Winogradow ist der Spezialfall der Mangoldt-Funktion.
Satz von Bombieri und Winogradow Sei die Tschebyscheff-Funktion in arithmetischen Progressionen gegeben
wobei die Mangoldt-Funktion und die eulerschen Phi-Funktion ist. Betrachte den Fehlerterm
der die maximale Abweichung zwischen der tatsächlichen Verteilung und der erwarteten gleichmäßigen Verteilung beschreibt.
Formulierung Seien und . Für ein festes mit
gilt
Erläuterungen summiert über alle Zahlen , die in der Restklasse liegen. sorgt dafür, dass nur Primzahlen und ihre Potenzen zur Summe beitragen. Fixiert man ein und eine Restklasse , dann misst wie stark Primzahlen in dieser Restklasse vertreten sind. ergibt sich, wenn man annimmt, dass die Zahlen gleichmäßig auf die möglichen Restklassen verteilt sind. ist die Größenordnung des betrachteten Zahlenbereichs und die maximale Größe der betrachteten Moduli . Die Ungleichung
bedeutet, dass die Moduli bis zur Größenordnung zugelassen sind. Die dazugehörige Verteilungsgrenze wird durch den Exponenten beschrieben, das heißt allgemein gilt . Diese Grenze nennt man im Englischen auch level of distribution des Satzes von Bombieri-Winogradow. bezeichnet das Landau-Symbol für den Vergleich des Wachstums zweier Funktionen.
Beweisidee mit Hilfe der großen Sieb-Ungleichung Robert Charles Vaughan veröffentlichte einen kürzeren Beweis des Satzes von Bombieri und Winogradow, welcher das große Sieb und die nach ihm benannte Vaughans Identität verwendet. Die Beweisidee ist es den Fehlerterm über Charaktere abzuschätzen um das Problem auf Mittelwerte von Dirichlet-Charaktersummen zu formen. Dann zeigt man mit Hilfe von Vaughan-Identität und der großen Sieb-Ungleichung das diese im Mittel genügend klein sind, was den Satz von Bombieri-Winogradow liefert.
Abschätzung mit Charaktersummen Sei gleich wenn der Hauptcharakter ist und sonst . Es gilt
Somit muss man
abschätzen. Ist durch einen primitiven Charakter mit Konduktor induziert und ersetzt man durch (wobei ), so gilt
Es genügt sich auf primitive Charaktere zu beschränken, da der Beitrag induzierter Charaktere in der Gesamtsumme vernachlässigbar ist. Durch Vertauschen der Summationsreihenfolge und Summation über erhält man
wobei bedeutet, dass über alle primitiven Charaktere summiert wird.
Nun verwendet man die Abschätzungen und daraus folgt
Sei . Dann liefert der Satz von Siegel-Walfisz für alle primitiven Charaktere mit Modulus die Abschätzung
Daher ist der gesamte Beitrag der kleinen Moduli
Anwendung des großen Siebs Für die verbleibenden Summen nützt man die große Sieb-Ungleichung für Dirichlet-Charaktere, sei
dann gilt
Setzt man Vaughans Identität für ein, so zerfällt in Typ-I-Summen und Typ-II-Summen, die mittels Ungleichung von Cauchy-Schwarz und der großen Sieb-Ungleichung behandelt werden. Dies liefert den Mittelwertsatz
Durch partielle Summation folgt schließlich für
womit der Satz von Bombieri-Winogradow bewiesen ist.
Literatur Harold Davenport: Multiplicative Number Theory, 2. Auflage, Springer 1980, Kapitel 28 A. I. Vinogradov: The density hypothesis for Dirichlet L-series. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., Band 29, 1965, S. 903–934, Korrektur Band 30, 1966, S. 719–720. E. Bombieri: On the large sieve, Mathematika, Band 12, 1965, S. 201–225 E. Bombieri: Le Grand Crible dans la Théorie Analytique des Nombres, 2. Auflage, Astérisque, Band 18, 1987
Weblinks Bombieris Theorem, Mathworld Bombieri Vinogradov theorem, Blog von Terence Tao
Einzelnachweise
Bombieri und Winogradow, Satz von