Die Vermutung von Elliott und Halberstam (EH, nach Peter D. T. A. Elliott und Heini Halberstam 1968) aus der analytischen Zahlentheorie betrifft den Fehlerterm in dem Dirichletschen Satz über die Primzahlverteilung in arithmetischen Progressionen.Elliott, Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symposia Mathematica IV, INDAM, Rom 1968, Academic Press 1970, S. 59–72
Sei die Primzahlfunktion (Anzahl der Primzahlen kleiner gleich ) und die Anzahl der Primzahlen mit (mit teilerfremd zu ). Nach dem Dirichletschen Primzahlsatz ist:
mit der Eulerschen Phi-Funktion . Sei
die Fehlerfunktion dieser Verteilung.
Die Vermutung von Elliott und Halberstam lautet:
Für jedes und gibt es eine Konstante , so dass:
für alle .
Für John Friedlander, Andrew Granville, Limitations to the equidistribution of primes, Annals of Mathematics, Band 129, 1989, S. 363–382 ist die Vermutung falsch, für ist sie Inhalt des Satzes von Bombieri und Winogradow.
Wie Dan Goldston, János Pintz und Cem YıldırımGoldston, Pintz, Yildirim, Small gaps between primes exist zeigten, folgt aus der Vermutung, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, die maximalen Abstand 16 haben. James Maynard konnte das ebenfalls unter Voraussetzung der Vermutung auf 12 verbessern.Maynard, Small gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 181, 2015, S. 383–413 Das Polymath-Projekt (Polymath 8, Terence Tao u. a.) konnte das unter Voraussetzung der verallgemeinerten Vermutung von Elliott und Halberstam auf 6 verbessern.D.H.J. Polymath: Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Research in the Mathematical Sciences, Band 1, Nr. 12, 2014 Ohne Benutzung einer Vermutung ist die beste Schranke zurzeit (2019) 246 (siehe Primzahlzwilling).
Terry Tao zeigte 2014Tao, The Elliott-Halberstam conjecture implies the Vinogradov least quadratic nonresidue conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 1005–1034, Arxiv, dass die Vermutung von Winogradow über die Größenordnung der kleinsten quadratische Nicht-Reste (mod p) aus der Elliott-Halberstam-Vermutung folgt. Winogradows Vermutung besagt für jedes . Die Vermutung von Winogradow folgt nach Linnik auch aus der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung.
Verallgemeinerte Vermutung von Elliott und Halberstam
Die verallgemeinerte Vermutung von Elliott und Halberstam (GEH) betrifft den Fall, dass nicht die Mangoldt-Funktion betrachtet wird wie im Satz von Bombieri und Winogradow, sondern allgemein arithmetische Funktionen mit bestimmten Zusatzeigenschaften, insbesondere sollten sie sich als Dirichlet-Faltung zweier Folgen darstellen lassen (siehe unten). Dass auch hier ein Analogon des Satzes von Bombieri und Winogradow gilt, wurde von Yōichi Motohashi (1976) gezeigt. Enrico Bombieri, John Friedlander und Henryk IwaniecBombieri, Friedlander, Iwaniec, Primes in arithmetic progressions to large moduli, Acta Mathematica, Band 156, 1986, S. 203–251 vermuteten, dass dann ebenfalls ein Analogon zur Vermutung von Elliott und Halberstam besteht. Die Elliott-Halberstam-Vermutung EH folgt aus GEH.
Seien , zwei Folgen komplexer Zahlen und positive ganze Zahlen, so dass für Kevin Broughton, Equivalences of the Riemann Hypothesis, Cambridge UP 2017, S. 329Für eine etwas andere Formulierung siehe Polymath, Research in the Mathematical Sciences, Band 1, 2014, Nr. 12
Der Träger von liegt in und der von in erfüllt die Siegel-Walfisz-Bedingung:
für festes und eine ganze Zahl mit . ist die komplexe euklidische Norm:
Für alle natürlichen Zahlen gilt und , wobei die Anzahl der Teiler von ist.
Die GEH ist dann die Vermutung, dass für gegebenes , (mit ) und für jede ganze Zahl :
Dabei ist die Dirichlet-Faltung
Das Polymath-Projekt zeigte unter Annahme von GEH, dass mindestens eine der beiden Sätze gilt: Die Primzahlzwillingsvermutung oder die folgende „Fast“-Goldbachvermutung: Sei n ein genügend großes Vielfaches von 6, dann ist n oder n+2 die Summe zweier Primzahlen.
Nach dem Fortschritt bei der Primzahlzwillingsvermutung durch das Polymath-Projekt gelang auch bei anderen Problemen ein Fortschritt unter Voraussetzung von GEH, so von M. Ram Murty und Akshaa VatwaniRam Murty, Vatwani, A remark on the Lang-Trotter and Artin conjectures, Proc. American Mathematical Society, Band 114, 2018, S. 3191–3202 bei der Artin-Vermutung über primitive Wurzeln und der Vermutung von Serge Lang und Hale Trotter für elliptische Kurven mit komplexer Multiplikation.
Einzelnachweise
Kategorie:Zahlentheorie