mini|hochkant=1.6|Die fünf platonischen Körper als Kunstobjekte im Park Bagno Steinfurt mini|hochkant=1.6|Die fünf platonischen Körper mit Motiven des Künstlers M. C. Escher
Die platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Polyeder mit größtmöglicher Symmetrie. Jeder von ihnen wird von mehreren deckungsgleichen (kongruenten) ebenen regelmäßigen Vielecken begrenzt. Eine andere Bezeichnung ist reguläre Körper (von ).Thomas Digges: Nova corpora regularia: Quinque corporum regularium simplicium … (Based in part on the “Pantometria” of Leonard Digges which was completed and published by Thomas Digges). 1634 ()Christophorus Leibfried: Tabula III. Orbium Planetarum Dimensiones et Distantias Per Quinque Regularia Corpora Geometrica Exhibens
Es gibt fünf platonische Körper. Ihre Namen enthalten die griechisch ausgedrückte Zahl ihrer begrenzenden Flächen und eder als Abwandlung des griechischen Wortes (siehe auch Polyeder), deutsch (Sitz-)Fläche. Tetraeder (Vierflächner, Oberfläche aus vier Dreiecken) Hexaeder (Sechsflächner, Oberfläche aus sechs Quadraten) – der Würfel Oktaeder (Achtflächner, Oberfläche aus acht Dreiecken) Dodekaeder (Zwölfflächner, Oberfläche aus zwölf Fünfecken) – auch Pentagondodekaeder genannt, um auf die Oberfläche aus Fünfecken als seine Besonderheit hinzuweisen Ikosaeder (Zwanzigflächner, Oberfläche aus zwanzig Dreiecken)
Die platonischen Körper sind konvex. In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele gleich lange Kanten zusammen, an jeder Kante treffen sich zwei deckungsgleiche Flächen, und jede Fläche hat gleich viele Ecken. Es ist also nicht möglich, irgendwelche zwei Körperecken, Kanten und Flächen aufgrund von Beziehungen zu anderen Punkten des Polyeders voneinander zu unterscheiden.
Alternativ lassen sich die platonischen Körper definieren als diejenigen Polyeder, für die es zu einem beliebigen Paar von Seitenflächen, Kanten oder Ecken immer eine Symmetrieabbildung gibt, die diese Flächen, Kanten oder Ecken vertauscht. Dies ist gemeint mit der größtmöglichen Symmetrie.
Verzichtet man auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kanten, spricht man von archimedischen Körpern. Verzichtet man dagegen auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kanten, spricht man von catalanischen Körpern. Verzichtet man auf die Konvexität, spricht man von regulären Polyedern und schließt damit die Kepler-Poinsot-Körper ein.
Übersicht Die fünfplatonischen Körper TetraederWolfram MathWorld: Regular Tetrahedron HexaederWolfram MathWorld: Cube OktaederWolfram MathWorld: Regular Octahedron DodekaederWolfram MathWorld: Regular Dodecahedron IkosaederWolfram MathWorld: Regular Icosahedronrahmenlos|150x150pxrahmenlos|150x150pxrahmenlos|150x150pxrahmenlos|150x150pxrahmenlos|150x150pxArt der Seitenflächengleichseitige DreieckeQuadrategleichseitige Dreieckeregelmäßige Fünfeckegleichseitige DreieckeAnzahl der Ecken/Kanten einer Fläche34353Anzahl der Flächen/Kanten in einer Ecke33435 Anzahl der Ecken4862012 Anzahl der Kanten612123030 Anzahl der Flächen4681220Körpernetz,die Abbildungen zeigen je ein Beispielaus mehreren möglichen Netzen80px80px100px120pxohne|100pxAnzahl verschiedener Körpernetze2120px|class=skin-invert-image11220px114338043380 dual zu Tetraeder Oktaeder Hexaeder Ikosaeder Dodekaeder Schläfli-Symbol{3,3}{4,3}{3,4}{5,3}{3,5}
Eigenschaften Eine umfassende Darstellung der Eigenschaften der platonischen Körper enthält folgende Aufstellung:Renatus Ziegler: Platonische Körper – Verwandtschaften, Metamorphosen, Umstülpungen. Dornach 2008, S. 10. Die Oberfläche setzt sich aus Flächen zusammen, sie sind Polyeder. Sie sind konvex: Es kommen keine einspringenden Ecken oder Kanten vor. Alle Kanten haben die gleiche Länge. Alle Flächen sind untereinander kongruent: Sie lassen sich durch Drehungen und Verschiebungen ineinander überführen. Alle Ecken haben gleiche Flächenwinkel und Kantenwinkel, alle Flächen sind gleichseitig und gleichwinklig. Alle Ecken haben denselben Abstand vom Körper-Mittelpunkt. Es existiert eine Umkugel, eine Kantenkugel und eine Inkugel.
Formen der Körperecken Die Bedingung, dass an einer Körperecke nur gleiche Polygone zusammenstoßen, wird nur von fünf Formen von Ecken erfüllt. Der Beweis dafür findet sich schon bei Euklid.Euklid: Die Elemente. Buch XIII, § 18a. Er beruht auf folgenden Überlegungen: Für eine beliebige Körperecke ist die Summe der Innenwinkel aller angrenzenden Flächen kleiner als 360°. Wäre sie genau 360°, würden die Flächen in einer Ebene liegen. Auch bei mehr als 360° wäre keine Ecke möglich. Andererseits müssen sich an jeder Körperecke mindestens drei Flächen treffen.
Sind bei einem Körper alle Seitenflächen regelmäßige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können an einer Körperecke drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen. Bei sechs gleichseitigen Dreiecken ist die Summe 360°, und sie füllen eine Ebene genau aus. Es gibt keinen Winkelrest, den man als Keil aus dieser Ebene ausschneiden und dann die Dreiecke eine Körperecke bilden lassen kann.
Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°), so können nur drei davon eine Ecke bilden (Winkelsumme 270°). Bei vier Quadraten ist die Summe 360°, und diese vier füllen auch eine Ebene genau aus.
Sind die Seitenflächen regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können auch nur drei davon eine Ecke bilden (Winkelsumme 324°). Bei vier Fünfecken ist die Summe 432°, also größer als 360°, und sie lassen sich gar nicht auf einer Ebene unterbringen.
Die Summe der Innenwinkel von 6 gleichseitigen Dreiecken, 4 Quadraten, 4 regelmäßigen Fünfecken oder 3 regelmäßigen Sechsecken (oder allen regelmäßigen Flächen mit noch mehr Ecken) sind also bereits 360° oder größer. Damit kommen diese Varianten nicht für Ecken eines Platonischen Körpers in Frage.
Es bleiben also zunächst fünf potentielle Kombinationen. Zu zeigen wäre noch, ob sich bei jeder dieser Möglichkeiten tatsächlich ein geschlossener Körper ergibt. Ohne aufwendige Mathematik kann man das so skizzieren, dass man mit einer Körperecke startet und dann stückweise weitere Polygone ergänzt.
Polygon Innenwinkel Polygone pro Ecke und Eck-Summenwinkel / Polyeder mit solchen Ecken 3 4 5 6 ≥ 7 Gleichseitiges Dreieck 60° 180° / Tetraeder 240° / Oktaeder 300° / Ikosaeder 360° >360° Quadrat 90° 270° / Hexaeder 360° >360° >360° >360° Regelmäßiges Fünfeck 108° 324° / Dodekaeder >360° >360° >360° >360° Regelmäßiges Sechseck 120° 360° >360° >360° >360° >360° Sieben oder mehr Ecken128,57° oder größer >360° >360° >360° >360° >360°
Dualität Zu jedem konvexen Polyeder lässt sich ein Dualkörper konstruieren. Bei platonischen Körpern erhält man diesen, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet. Duale Körper im engeren Sinne haben dieselbe Kantenkugel. Einander entsprechende Kanten der dualen Körper schneiden sich in einem rechten Winkel in dem Punkt, in dem sie die Kantenkugel berühren.
Somit hat das duale Polyeder genauso viele Ecken, wie das Ausgangspolyeder Flächen hat. Der Dualkörper hat zudem genauso viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken hat. Letzteres kann man sich räumlich so vorstellen, dass jede vergrößerte Fläche des Dualkörpers eine Ecke des Ausgangskörpers abschneidet. Drittens gilt, dass das Dualpolyeder und sein Ausgangspolyeder die gleiche Anzahl an Kanten haben. Dies lässt sich ebenfalls aus obiger Konstruktion ablesen: Zwei benachbarte Seitenflächen bilden gemeinsam eine Kante des Ausgangspolyeders, und die „Verbindung der zwei Mittelpunkte“ dieser benachbarten Seitenflächen stellt eine Kante des Dualkörpers dar. Man spricht deshalb auch von dimensionsumkehrender Dualität. Und die Inversion des Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polyeder.
Bei den platonischen Körpern, als Untergruppe der konvexen Polyeder, gibt es bezüglich deren Dualkörper noch folgende Besonderheiten: Erstens haben hier Ausgangs- und Dualkörper denselben geometrischen Schwerpunkt. Zweitens ist der Dualkörper eines platonischen Körpers auch selbst ein platonischer Körper. Dabei bilden Hexaeder (Würfel) und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in verkleinerter zentralsymmetrischer Lage befindet, d. h., es „steht auf dem Kopf“. Drittens: Wiederholt man obige Konstruktion und konstruiert den dualen Körper zum Dualkörper, so erhält man einen verkleinerten Ausgangskörper – also einen platonischen Körper, der durch Zentrische Streckung in den Ausgangskörper überführt werden kann. Beide haben somit denselben Schwerpunkt.
Symmetrie Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie: Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d. h., jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Kongruenzabbildung des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden. Man sagt dazu: Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken (wie auch auf den Kanten und Flächen). Es gilt sogar: Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Fahnen. (Eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche.)
Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen und ihre Untergruppen gehören zu den diskreten Punktgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper, z. B. der archimedischen Körper. Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle.
Aufgrund ihrer Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können. Die meisten Spielwürfel sind übrigens aufgrund der Vertiefungen für die Augenzahlen nicht absolut perfekt symmetrisch.
Deltaeder Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.
Berührende Kugeln Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.
Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt des platonischen Körpers.
Mathematische Eigenschaften Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre
Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt, z. B. auf die Umkugel, so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten unter gleichen Winkeln zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.
Jede reguläre Parkettierung kann durch ein Paar das sogenannte Schläfli-Symbol, beschrieben werden, wobei für die Anzahl der Kanten eines Feldes und für die Anzahl der in einer Ecke endenden Kanten steht. Die platonischen Körper sind die dualen Paare (Hexaeder) und (Oktaeder), (Dodekaeder) und (Ikosaeder) sowie das selbstduale (Tetraeder).
Geometrisch bedeutet das für die platonischen Körper, dass
die Anzahl der Ecken der Seitenflächen ist. Die Seitenflächen des platonischen Körpers sind also regelmäßige die Anzahl der Flächen/Kanten des platonischen Körpers sind, die an einer Ecke zusammentreffen.