mini|Eine Mandelbox (Skalierung 2) von vorne In der Mathematik ist die Mandelbox ein Fraktal mit einer kastenartigen Form, das 2010 von Tom Lowe entdeckt wurde.Andrzej Katunin: A Concise Introduction to Hypercomplex Fractals, CRC Press, 2017, S. 32 f. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Benoît Mandelbrot, da die Mandelbox eine mögliche Verallgemeinerung der Mandelbrot-Menge für den euklidischen Raum ist.

Motivation mini|Mandelbrotmenge in der Gaußschen Zahlenebene

Die Mandelbrot-Menge lässt sich definieren als die Menge aller komplexen Zahlen , für die die durch

für alle

rekursiv definierte Folge beschränkt ist. Man erkennt, dass die Bildungsvorschrift „erst quadrieren und dann addieren“ ausgehend von 0 immer wieder iteriert wird. Statt Fraktale in zu betrachten, könnte man auch eine Verallgemeinerung zum versuchen. Dabei interpretiert man das Quadrieren als eine Art „Aufblähung“ zu einer Box oder Kugel.

Definition

Geometrische Funktionen

Die Funktion wird komponentenweise definiert. Für setze man:

Anschaulich gesagt „faltet“ man hier die Teile der Zahlengerade die bzw. an den Rändern des Intervalls zusammen. Für jedes gibt es eine Zahl von Faltungen (Anwendungen der Funktion ), die ins Intervall bringt, wo es dann bei allen weiteren Anwendungen von bleibt. Für und setze man

In den einzelnen Komponenten rechts soll die Funktion im Eindimensionalen bezeichnen.

Die Funktion definiere man durch

Hier bezeichnet die Norm des Vektors . Die Funktion lässt, anschaulich gesagt, das Innere einer Sphäre „explodieren“, wobei die erste Bedingung vor allem wegen des Punktes notwendig ist, da man durch nicht dividieren kann.

Anschließend benötigen wir die zwei Rechenoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation.

Mandelbox und Juliabox mini|Entstehung einer Mandelbox

Die Mandelbox bezüglich eines reellen Parameters ist die Menge aller Punkte , für die die rekursiv definierte Folge

beschränkt ist. Die Zahl wird hierbei Skalierungsfaktor genannt.

Eine Julia-Box definiert man als Menge aller Punkte , sodass für ein festes die Folge definiert durch

beschränkt ist.Kapitel Variations sur un cube, vor dem 3. Bild.

Beispiele Das Aussehen der Mandelbox hängt wesentlich vom Skalierungsfaktor ab. Für kann man folgende computergenerierte Grafiken angeben:

Eigenschaften mini|Rundgang durch eine Mandelbox

Aus der Definition ergibt sich, dass die Mandelbox entlang jeder Achse symmetrisch ist (sie weist alle Symmetrien eines Quadrats, Würfels oder einer Box auf). Für gilt: Gilt für ein die Ungleichung , so ist . Daraus folgt unmittelbar, dass die größtmögliche in dem Fraktal erhaltene Box ist. Rechts sieht man ein Beispiel, wenn die Skalierung auf -1,5 gesetzt wird.Kapitel Bounds. Für ist ein Punkt nicht in enthalten, wenn gilt:

Im Allgemeinen ergeben sich abhängig vom Wert unterschiedliche Fraktale. Zum jetzigen Stand (2024) sind die Fraktale noch nicht zufriedenstellend charakterisiert worden.

Anmerkungen

Weblinks

Einzelnachweise

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