Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.
Definition
Es seien und Kokettenkomplexe und zwei Kettenabbildungen, d. h. Systeme von Morphismen , die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass gilt.
Dann ist eine Kettenhomotopie eine Folge von Morphismen , so dass , oder ausführlicher für alle , gilt.
zentriert
und heißen homotop, wenn es eine Kettenhomotopie gibt. Homotopie ist eine mit der Komposition verträgliche Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kettenabbildungen.
Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert. Zwei Kettenabbildungen und zwischen Kettenkomplexen und heißen homotop, wenn es eine Folge von Morphismen gibt, so dass für alle .Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Homotopy
Zwei Kettenkomplexe und heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenabbildungen und gibt, für die die Hintereinanderausführungen und jeweils homotop zur Identität sind.
Bedeutung Eine Abbildung, die homotop zur Nullabbildung ist, heißt nullhomotop. Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie. Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Homologie bzw. Kohomologie.Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Satz 3.1 Ist insbesondere ein Kokettenkomplex und eine Homotopie zwischen der Identität auf und der Nullabbildung auf , so ist die Kohomologie von trivial, d. h. ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie. Sind zwei stetige Abbildungen und zwischen topologischen Räumen und homotop, so sind die zugeordneten Abbildungen und zwischen den zugehörigen singulären Kettenkomplexen homotop im oben definierten SinneSaunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Theorem 8.2. Insbesondere sind die induzierten Abbildungen zwischen den singulären Homologiegruppen gleich. Zwei projektive Auflösungen eines Moduls über einem Ring sind homotopPeter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §4, Satz 4.3. Insbesondere sind die Homologien der Auflösungen gleich, was zum Begriff des abgeleiteten Funktors führt.
Einzelnachweise
Kategorie:Homologische Algebra