Spielkreisel

mini|Abb. 1: Spielkreisel

Der SpielkreiselMagnus (1971), S. 266, Grammel (1920), S. 111 und 123, siehe Literatur. ist in der Kreiseltheorie ein Kreisel, der im Schwerefeld der Erde in keinem Punkt festgehalten auf einem ebenen, waagerechten Untergrund und diesen nur in einem Punkt berührend tanzt, siehe Bild. Von besonderer Bedeutung sind die dargestellten symmetrischen Kreisel, bei denen der Massenmittelpunkt auf der Figurenachse liegt.

Solche Kreisel können Drehungen um die vertikale Figurenachse und reguläre Präzessionen relativ lange ausführen, sofern sie stabil sind. Zwischen den stabilen Lagen streben Kreisel eine von ihnen in einem instationären Ablauf an.Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 352. Beim schnellen Stehaufkreisel ist die hängende lotrechte Position instabil, die aufrechte stabil und eine reguläre Präzession dazwischen nicht möglich. Deshalb richtet sich dieser Kreisel auf. Die treibende Kraft ist dabei die Reibung am Aufstandspunkt. Die Beschreibung der Bewegungen, Existenz und Stabilität deren Sonderformen, sowie die sie beeinflussenden Reibeffekte sind Gegenstand der Theorie des Spielkreisels.

Über die teils unerwarteten Bewegungen von Spielkreiseln gibt es viele, vor allem mathematische Abhandlungen, die zum größten Teil kaum technische Bedeutung beanspruchen können.Magnus (1971), S. 266. Das dem Spielkreisel entgegengebrachte Interesse erfolgt nicht zuletzt

Geschichte Die wissenschaftliche Behandlung von Kreiseln begann mit J. A. Segner (1704 – 1777), der auch schon die Bedeutung der Reibung für das Aufrichten der Kreiselachse richtig erkannte. Leonhard Euler veröffentlichte 1750 seine Kreiselgleichungen und konnte auch schon Lösungen für den kräftefreien Euler-Kreisel angeben. Joseph-Louis Lagrange leistete 1788 einen wichtigen Beitrag durch Lösung der Gleichungen für den, dem Spielkreisel nahe verwandten, schweren symmetrischen Kreisel mit Stützpunkt oder . Weitere Sonderfälle der eigentümlichen Bewegungen auf einer Ebene rollender Körper sind von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1761), Leonhard Euler (1765) und Siméon Denis Poisson (1811) untersucht wordenMagnus (1971), S. 266..

Die ersten bekannten Versuche, das Aufstehen des Wendekreisels zu erklären, stammen von W. Thompson und Blackburn aus dem 19. Jahrhundert, in dem auch J. H. Jellett (1872) In der Kreiseltheorie werden Konstanten der Bewegung als Integral bezeichnet, weil ihre Zeitableitung verschwindet und somit umgekehrt das Zeitintegral eine Konstante liefert. das nach ihm benannte Integral entdeckte. Dass es die Reibungskraft im Aufstandspunkt ist, die den Stehaufkreisel sich aufrichten lässt, erkannten C. M. Braams, N. M. Hugenholtz und W. M. Plisken Anfang der 1950er-Jahre. R. J. Cohen formulierte 1977 das heute akzeptierte Modell des Stehaufkreisels und konnte numerisch das Aufstehen des Kreisels simulieren. Zwischen 1994 und 2005 wurde die Kinetik des Spielkreisels weiter aufgeklärtsiehe Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 333 und die Literaturangaben dort..

Beschreibung

Realisierungen und mechanisches Modell mini|Abb. 2: Kreisel mit Krümmungsradius ρ und -mittelpunkt Z, Massenmittelpunkt G, Aufstandspunkt T, axialem Vektor ê3 und vertikalem êz Spielkreisel kommen in vielen Formen vor. Eine für gewöhnlich glatte Oberfläche und Rotationssymmetrie wie in Abb. 1 ist nicht nur ästhetisch ansprechend und leicht herzustellen, sondern hält auch den Luftwiderstand gering. Harte und glatte Materialien für Kreisel und Untergrund sorgen für geringe bohrende, Roll- und Gleitreibung.

Je stumpfer die untere Kreiselspitze ist, desto leichter richtet sich der Kreisel auf. Diese Wirkung kehrt sich bei sehr spitzem unterem Kreiselende leicht um, sodass dieselbe Ursache den Kreisel absenkt, siehe Abb. 4. Je spitzer der Kreisel im Aufstandspunkt ist, desto weniger bremst die dort auftretende Reibung, sodass der Kreisel länger tanzt. Die tatsächliche Ausformung bildet einen Kompromiss zwischen diesen widerstreitenden Aspekten.

Der Wendekreisel soll sich aus „hängender“ Position, wo der Massenmittelpunkt unter dem Krümmungskreis der unteren Kreiselspitze liegt (3/6a in Abb. 3), in aufrechte Lage wenden, wo der Massenmittelpunkt über dem Krümmungszentrum ist (3/6b in Abb. 3). Übliche Ausführungen besitzen einen Stift, auf den sich der Kreisel stellt. Beim Aufrichten passiert er einen kritischen Punkt, wo Stift und kugelförmiger Teil des Kreisels gleichzeitig die Unterlage berühren.

Die inhomogene Kugel mit exzentrischem Massenmittelpunkt wie in Abb. 2siehe Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005) ist ein probates Modell eines Kreisels, der keinen kritischen Punkt besitzt. Das Krümmungszentrum der Kreiselspitze ist dann der geometrische Mittelpunkt der Kugel. Beim hängenden Kreisel ist der Massenmittelpunkt unterhalb des geometrischen Mittelpunkts und beim aufrechten Kreisel oberhalb.

Einteilung nach Stabilitätseigenschaften mini|400px|Abb. 3: Stabilitätsdiagramm von Spielkreiseln mit lotrechter Figurenachse Die Stabilität der Spielkreisel mit lotrechter Figurenachse kann mit der Methode der kleinen Schwingungen von E. Routh untersucht und das Ergebnis graphisch in einem Stabilitätsdiagramm dargestellt werden, siehe Abb. 3Magnus (1971), S. 271+273, Kuypers und Ucke (1994), S. 215.. Auf der Abszisse ist das Verhältnis des axialen Hauptträgheitsmoments C zu den äquatorialen Hauptträgheitsmomenten A aufgetragen. Dieses Verhältnis liegt bei einem realen symmetrischen Kreisel im Bereich 0 < C/A < 2. Auf der Ordinate ist das Verhältnis der Höhe h = |GR| des Massenmittelpunkts G über seinem Fußpunkt R auf der Unterlage und dem Krümmungsradius ρ = |ZT| der unteren Kreiselspitze im Aufstandspunkt abgetragen, siehe Abb. 2. Beim aufrecht stehenden Kreisel ist h/ρ > 1, denn mit dem Abstand s = |GZ| zwischen Massenmittelpunkt und Krümmungszentrum ist bei senkrechter Figurenachse h/ρ = (ρ + s)/ρ = 1 + α mit dimensionslosem

α := s/ρ.

Beim lotrecht hängenden Kreisel ist der Massenmittelpunkt unterhalb des Krümmungszentrums, h/ρ = (ρ - s)/ρ = 1 - α, und entsprechend h/ρ < 1. Das Diagramm wird durch die Gerade h/ρ = 1 und die Hyperbel

h/ρ = γ := A/C

in vier unterschiedlich gefärbte Bereiche geteilt.Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 361.

(a) γ ≥ 1 + α In diesem Bereich (pink) ist 1 < h/ρ ≤ A/C = γ, sind beim schnellen Kreisel reguläre Präzessionen nur mit Neigungswinkeln ϑ, die cos(ϑ) <  erfüllen, möglich und auch stabil, und Drehungen um Vertikalachsen sind stets instabil. (b) γ ≤ 1 - α In diesem Bereich (olivgrün) ist γ = A/C ≤ h/ρ < 1, sind beim schnellen Kreisel reguläre Präzessionen im Bereich cos(ϑ) > zwar möglich aber instabil, und die Drehungen um Vertikalachsen sind stets stabil. Dieser Fall wird manchmal indifferent genannt, denn der schnelle Kreisel kann je nach Wunsch so beschleunigt werden, dass er die aufrechte oder die hängende lotrechte Position anstrebt. (c) 1 - α < γ < 1 + α In den verbleibenden Bereichen (blaugrau und orange) ist eine reguläre Präzession beim schnellen Kreisel ausgeschlossen, der lotrecht hängende Kreisel nur bei langsamer und der aufrechte nur bei schneller Drehung stabil. Wendekreisel haben dieses Format.

Die Geometrien 3a/b und 6a/b aus dem Bereich (c) sind dem Stehaufkreisel nachempfunden. Wird der Kreisel in lotrecht hängender Lage 3/6a in rasche Drehung versetzt, richtet sich der Kreisel auf, weil seine Stellung instabil ist. Die aufrechten Positionen 3/6b sind beim schnellen Kreisel hingegen stabil. Sofern der Schwung ausreicht, der Kreisel über den kritischen Moment, wo der kugelförmige Teil und der Stift die Unterlage gleichzeitig berühren, hinweg kommt, wird er die aufrechte Stellung erreichen. Der Kreisel 6a kann den kritischen Moment nicht überwindenKuypers und Ucke (1994), S. 215. und ist daher als Stehaufkreisel ungeeignet. Der langsamer werdende Kreisel 3b verlässt die aufrechte Position, sobald diese instabil wird, und strebt die nun stabile hängende Lage 3a an.

Beim nicht so schnellen Kreisel ist die #Stabilität der stationären Bewegungen nicht nur von α und γ, sondern auch vom Schwung, ausgedrückt durch #Jelletts Integral J (die Projektion des Drehimpulses auf die Achse vom Massenmittelpunkt G zum Aufstandspunkt T in Abb. 2), und über den Kreisel eigenen Parameter Jβ = ρ√(Csmg) von seiner Gewichtskraft mg abhängig. Die Existenz und Stabilität von stationären Bewegungen wird somit nur von den drei Eigenschaften α, γ und Jβ des Kreisels sowie einer Anfangsbedingung J festgelegt.

Vergleich mit dem Lagrange-Kreisel Der Spielkreisel weist viele Parallelen zum Lagrange-Kreisel auf. Unterschiede ergeben sich daraus, dass sich der Lagrange-Kreisel um den fixierten Aufstandspunkt, der Spielkreisel jedoch um den freien Massenmittelpunkt dreht. Beim Spielkreisel sind die Trägheitsmomente bezüglich des Massenmittelpunkts maßgeblich, die kleiner sind als bei einem baugleichen Lagrange-Kreisel.

Der Spielkreisel ist in lotrecht stehender Lage schon bei kleinerer Drehgeschwindigkeit stabil und ändert seine Neigung unter Einfluss der Reibung deutlich schneller als ein vergleichbarer Lagrange-KreiselGrammel (1920), S. 113.. Der Spielkreisel kann wie der Lagrange-Kreisel eine reguläre Präzession mit den ihr eigenen Merkmalen ausführen. Auch pseudoreguläre Präzessionen sind möglich, wenn der Kreisel sich schnell dreht und der Drehimpuls nahe der Figurenachse ausgerichtet ist. Die pseudoregulären Präzessionen sind bei beiden Kreiseln gleich schnell. Allerdings vollziehen beim Spielkreisel sowohl der Massenmittelpunkt als auch der Aufstandspunkt feine Schwankungen, weswegen von einem Nutationskegel nicht mehr die Rede sein kann. Die Umlaufbahn der unteren Kreiselspitze um die Drehimpulsachse hat beim geneigten Kreisel auch eine vertikale Komponente, mit der sich der Kreisel vom Untergrund abstößt. Bei ausreichendem Schwung kann der Kreisel dabei abheben und auf den Untergrund klopfen.Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 339.

Für den reibungsfreien Spielkreisel gilt wie beim Lagrange-Kreisel der Satz von Gaston Darboux über homologe KreiselGrammel (1920), S. 116.. Bei beiden Kreiseln sind der Drehimpuls Lz in vertikaler und L3 in axialer Richtung sowie die im Parameter k enthaltene Gesamtenergie konstant. Die Kreiselfunktion lautet beim Spielkreisel, solange er die Unterlage berührt, mit den Bezeichnungen beim Lagrange-Kreisel:

Die Kreiselfunktion des Lagrange-Kreisels (schwarz) bekommt beim Spielkreisel einen zusätzlichen Divisor (blau). Die drei Eulerʹschen Drehwinkel lassen sich mit dieser Kreiselfunktion mit denselben Integralen wie beim Lagrange-Kreisel ausdrücken. Zur graphischen Darstellung der Bewegung wird beim Spielkreisel seine untere Spitze benutzt, deren Bahnlinie in jeder Hinsicht den Locuskurven des Lagrange-Kreisels entspricht. Die analytisch ermittelten Kreiselbewegungen weichen allerdings aufgrund der Reibung im Aufstandspunkt wesentlich von den realen ab.

Herleitung der Kreiselfunktion Kinematik Im reibungsfreien Fall hat eine kugelig ausgeformte untere Kreiselspitze keinen Einfluss und kann und soll hier eine ideal spitze Form angenommen werden. Der Massenmittelpunkt liegt im Abstand s vom Aufstandspunkt auf der Figurenachse, die die Neigung ϑ gegenüber der nach oben weisenden Senkrechten hat. Der Massenmittelpunkt befindet sich in der Höhe

z = s cos(ϑ) = s u

über dem Untergrund, eine kinematische Annahme, die den Kreisel an den Untergrund bindet. Darin ist u = cos(ϑ). Die Zeitableitung davon liefert mit sin²(ϑ) = 1 - u²:

Die Beschleunigung des Massenmittelpunkts ist die zweite Zeitableitung . Impulssatz Nach dem Impulssatz ergibt sich in Lotrichtung